Sejam
duas soluções l.i. para
para todo
.
Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para
.
Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
e diz que
e
são duas soluções linearmente independentes em
, com
para todo
. Vamos usar a fórmula de Abel e o método de redução de ordem para obter uma expressão – em termos apenas de
– que gere
.
Passo 2
Recordando a fórmula de Abel para o wronskiano
, temos
onde
é um ponto fixo.
Passo 3
Por definição
Para construir
a partir de
, fazemos a ansatz de redução de ordem
Passo 4
Derivando, obtemos
Substituindo em
, fica
Logo
Passo 5
Usando a expressão de
da fórmula de Abel, temos
Integrando de
até
,
Podemos escolher
para obter uma solução independente de
.
Resposta
Uma segunda solução linearmente independente a partir de
é
para qualquer ponto fixo
.