Sejam varphi1, varphi2:(a, b) R duas soluções l.i. para
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0,
com varphi1(t) neq 0 para todo t in(a, b).
Use a fórmula de Abel para obter uma expressão para varphi2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
e diz que varphi1 e varphi2 são duas soluções linearmente independentes em (a,b), com varphi1(t)neq0 para todo t. Vamos usar a fórmula de Abel e o método de redução de ordem para obter uma expressão – em termos apenas de varphi1 – que gere varphi2.

Passo 2

Recordando a fórmula de Abel para o wronskiano W(t)=W(varphi1,varphi2)(t), temos
W(t)=W(t0)expl(-integralt0^tp(s),dsr),
onde t0in(a,b) é um ponto fixo.

Passo 3

Por definição
W(t)=varphi1(t),varphi2'(t)-varphi1'(t),varphi2(t)
Para construir varphi2 a partir de varphi1, fazemos a ansatz de redução de ordem
varphi2(t)=v(t),varphi1(t)

Passo 4

Derivando, obtemos
varphi2'(t)=v'(t),varphi1(t)+v(t),varphi1'(t)
Substituindo em W(t), fica
W(t)=varphi1(t)l[v'(t),varphi1(t)+v(t),varphi1'(t)r]-varphi1'(t)l[v(t),varphi1(t)r] =varphi1(t)^2,v'(t)
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v'(t)=W(t)varphi1(t)^2

Passo 5

Usando a expressão de W(t) da fórmula de Abel, temos
v'(t) =W(t0)expl(-integralt0^tp(s),dsr)varphi1(t)^2
Integrando de t0 até t,
v(t)=v(t0)+W(t0)integralt0^t expl(-integralt0^sp(u),dur)varphi1(s)^2,ds
Podemos escolher v(t0)=0 para obter uma solução independente de varphi1.

Resposta

Uma segunda solução linearmente independente a partir de varphi1 é
varphi2(t) =varphi1(t)integralt0^t expl(-integralt0^sp(u),dur)varphi1(s)^2,ds,
para qualquer ponto fixo t0in(a,b).

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