Suponha que Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0
é igual a 1 , e que varphi1(t)=t^3 seja uma dessas soluções para a equação homogênea. Determine a solução geral para
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
y'' + p(t),y' + q(t),y = t
sabendo que para a homogênea
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
existe uma solução varphi1(t)=t^3 e que o Wronskiano de varphi1,varphi2 vale 1.
Conteúdo: variação de parâmetros para EDO de segunda ordem.

Passo 2

Para achar varphi2 usamos
W(varphi1,varphi2) = varphi1,varphi2' - varphi1',varphi2 =1
Como varphi1=t^3 e varphi1'=3t^2, temos a equação linear
t^3varphi2' - 3t^2varphi2 = 1 Long<=ftrightarrow varphi2' - 3t,varphi2 = 1t^3

Passo 3

Resolvendo por fator integrante mu(t)=e^-integral3/t,dt=t^-3,
ddtl(varphi2,t^-3r) = t^-3cdot1t^3=t^-6 Longrightarrow varphi2,t^-3=integral t^-6dt=-15t^-5+C
Escolhendo C=0 para ter Wronskiano 1,
varphi2(t)=-15t^-2

Passo 4

Pela variação de parâmetros, uma particular é
yp = -varphi1(t)integral varphi2(t),tWdt +varphi2(t)integral varphi1(t),tWdt,
onde W=1 e g(t)=t. Calculemos os dois integrais:
  1. integral varphi2,t,dt =integrall(-tfrac15t^-2r)t,dt =-tfrac15integral t^-1dt =-tfrac15ln|t|.
  2. integral varphi1,t,dt =integral t^3cdot t,dt =integral t^4 dt =tfract^55
Logo
yp =-t^3l(-tfrac15ln|t|r) + l(-tfrac15t^-2r)l(tfract^55r) =tfrac15,t^3ln|t|-tfrac125,t^3

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com yp. Como -tfrac125t^3 se absorve em C1t^3, podemos escrever
y(t)=C1,t^3+C2,t^-2+15,t^3ln|t|

Resposta

y(t)=C1,t^3+C2,t^-2+15,t^3ln|t|

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