Defina, com suas palavras, o que é o sinal de uma função. Quais as formas de representar o sinal de uma função? É sempre possível usar as duas formas para representar o sinal de qualquer função?

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente, com nossas próprias palavras, o que significa falar do sinal de uma função, mostre as formas possíveis de representar esse sinal e discuta se sempre podemos usar todas essas formas. O conteúdo aqui é análise de sinais de funções, e vamos precisar entender o conceito de positividade, negatividade e zeros de uma função.

Passo 2

O sinal de uma função f\) em um ponto \(x\) indica se o valor \(f(x)\) é positivo, negativo ou igual a zero. Em outras palavras: \[\begin{cases} f(x)>0 &\text{diz que \(f é positiva em x},\ f(x)=0 &diz que f anula (ou zera) em x,\ f(x)<0 &diz que f é negativa em x. \end{cases}]
Esse conceito é útil para entender onde a função está acima ou abaixo do eixo x, e para resolver inequações envolvendo f.

Passo 3

As duas formas mais comuns de representar o sinal de f são:
  1. O diagrama de sinais (ou tabela de sinais), em que listamos os pontos críticos (raízes e pontos de descontinuidade), fazemos uma reta numerada e marcamos em cada intervalo o sinal de f.
  2. A notação por conjuntos de solução, em que indicamos diretamente
\{\,x\mid f(x)>0\},\quad \{\,x\mid f(x)=0\},\quad \{\,x\mid f(x)<0\},
ou escrevemos a união de intervalos em cada caso, por exemplo (a,b)\cup(c,d) para a região onde f é positiva.

Passo 4

Em geral, para funções racionais, polinomiais ou bem comportadas, podemos usar tanto o diagrama de sinais quanto a notação por conjuntos sem problemas. Porém, se a função tiver infinitos zeros (por exemplo \sin x) ou zeros muito espalhados de modo irregular, fica impraticável montar um diagrama de sinais completo. Nesses casos, a notação por conjuntos (ou descrição analítica do sinal) é sempre possível, mas o diagrama de sinais pode não ser viável de desenhar na íntegra.

Resposta

O sinal de uma função indica onde ela assume valores positivos, negativos ou nulos. Podemos representá-lo por
– um diagrama de sinais, marcando raízes e intervalos de positividade/negatividade em uma reta numerada;
– ou por notação de conjuntos, listando explicitamente \{x\mid f(x)>0\}, \{x\mid f(x)=0\} e \{x\mid f(x)<0\}.
Embora ambas as formas sejam equivalentes para funções com número finito de zeros bem localizados, quando a função tem infinitos ou muito dispersos zeros, o diagrama de sinais se torna impraticável, mas a notação por conjuntos continua sempre possível.

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