Defina, com suas palavras, o que é o sinal de uma função. Quais as formas de representar o sinal de uma função? É sempre possível usar as duas formas para representar o sinal de qualquer função?
Passo 1
O enunciado pede que a gente apresente, com nossas próprias palavras, o que significa falar do sinal de uma função, mostre as formas possíveis de representar esse sinal e discuta se sempre podemos usar todas essas formas. O conteúdo aqui é análise de sinais de funções, e vamos precisar entender o conceito de positividade, negatividade e zeros de uma função.
Passo 2
O sinal de uma função
é positiva em
},\ f(x)=0 &diz que
anula (ou zera) em
,\ f(x)<0 &diz que
é negativa em
. \end{cases}]
Esse conceito é útil para entender onde a função está acima ou abaixo do eixo
, e para resolver inequações envolvendo
.
Passo 3
As duas formas mais comuns de representar o sinal de
são:
- O diagrama de sinais (ou tabela de sinais), em que listamos os pontos críticos (raízes e pontos de descontinuidade), fazemos uma reta numerada e marcamos em cada intervalo o sinal de
. - A notação por conjuntos de solução, em que indicamos diretamente
ou escrevemos a união de intervalos em cada caso, por exemplo
para a região onde
é positiva.
Passo 4
Em geral, para funções racionais, polinomiais ou bem comportadas, podemos usar tanto o diagrama de sinais quanto a notação por conjuntos sem problemas. Porém, se a função tiver infinitos zeros (por exemplo
) ou zeros muito espalhados de modo irregular, fica impraticável montar um diagrama de sinais completo. Nesses casos, a notação por conjuntos (ou descrição analítica do sinal) é sempre possível, mas o diagrama de sinais pode não ser viável de desenhar na íntegra.
Resposta
O sinal de uma função indica onde ela assume valores positivos, negativos ou nulos. Podemos representá-lo por
– um diagrama de sinais, marcando raízes e intervalos de positividade/negatividade em uma reta numerada;
– ou por notação de conjuntos, listando explicitamente ,
e
.
Embora ambas as formas sejam equivalentes para funções com número finito de zeros bem localizados, quando a função tem infinitos ou muito dispersos zeros, o diagrama de sinais se torna impraticável, mas a notação por conjuntos continua sempre possível.
– um diagrama de sinais, marcando raízes e intervalos de positividade/negatividade em uma reta numerada;
– ou por notação de conjuntos, listando explicitamente
Embora ambas as formas sejam equivalentes para funções com número finito de zeros bem localizados, quando a função tem infinitos ou muito dispersos zeros, o diagrama de sinais se torna impraticável, mas a notação por conjuntos continua sempre possível.