Qual a relação entre o gráfico de y=f(x) e o gráfico de y=k \cdot f(x), onde k \in \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado nos pede para comparar o gráfico de y=f(x) com o gráfico de
y = k \cdot f(x),
sabendo que k\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é a transformação vertical de gráficos de funções por um fator constante.

Passo 2

Suponha que (x_0,y_0) seja um ponto do gráfico de y=f(x), ou seja, y_0=f(x_0). No gráfico de y=k\cdot f(x) esse mesmo x_0 terá a altura
y = k\cdot f(x_0) = k\,y_0,
logo o ponto correspondente passa a ser \bigl(x_0,\,k\,y_0\bigr). Isso mostra que cada distância vertical ao eixo x é multiplicada por k.

Passo 3

Quando k>0, não há mudança de sinal e o gráfico sofre apenas uma “esticada” ou “comprimida” vertical:
- Se k>1, cada y_0 é levado a k\,y_0 maior, então temos um esticamento vertical por um fator k.
- Se 0<k<1, cada y_0 vira k\,y_0 menor, caracterizando uma compressão vertical por um fator k.

Passo 4

Quando k<0, além de escalar verticalmente por |k|, ocorre uma reflexão no eixo x:
- A magnitude |k| determina o esticamento (se |k|>1) ou a compressão (se 0<|k|<1).
- O sinal negativo inverte o sinal de todas as ordenadas, espelhando o gráfico original em relação ao eixo x.

Resposta

Multiplicar f(x) por k faz com que o gráfico original seja transformado verticalmente: para k>0 ele apenas se estica (se k>1) ou se comprime (se 0<k<1), e para k<0 ocorre também reflexão no eixo x acompanhada de esticamento ou compressão pelo fator |k|.

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