Defina:
a) Polinômio minimal de um operador linear
b) Operador linear diagonalizável
a) Polinômio minimal de um operador linear
b) Operador linear diagonalizável
Passo 1
O enunciado pede duas definições básicas de álgebra linear sobre um espaço vetorial de dimensão finita
sobre um corpo
: o polinômio minimal de um operador linear
e o que significa
ser diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de anel de polinômios
, ideais nesse anel e teoria de autovalores e autovetores.
Passo 2
Para definir o polinômio minimal, primeiro notamos que o conjunto
é um ideal não trivial de
. Como
é um PID (domínio principal de ideais), existe um único polinômio monico de menor grau que gera
. Esse gerador monico é justamente o polinômio minimal de
.
Passo 3
Para definir diagonalizabilidade, usamos o conceito de base de autovetores. Dizemos que
é diagonalizável se existe uma base de
formada por autovetores de
. Nesse caso, a matriz de
nessa base é diagonal, ou seja,
é semelhante a uma matriz diagonal.
Resposta
a) O polinômio minimal de um operador linear
é o único polinômio monico de menor grau
tal que
ou seja, o gerador monico do ideal
.
b) Um operador linear
é diagonalizável se existe uma base de
formada por autovetores de
, isto é, se a matriz de
numa base apropriada é diagonal.