Defina:
a) Polinômio minimal de um operador linear
b) Operador linear diagonalizável

Passo 1

O enunciado pede duas definições básicas de álgebra linear sobre um espaço vetorial de dimensão finita V sobre um corpo Bbb K: o polinômio minimal de um operador linear Tin L(V) e o que significa T ser diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de anel de polinômios Bbb K[x], ideais nesse anel e teoria de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para definir o polinômio minimal, primeiro notamos que o conjunto
I = ,pinBbb K[x]mid p(T)=0
é um ideal não trivial de Bbb K[x]. Como Bbb K[x] é um PID (domínio principal de ideais), existe um único polinômio monico de menor grau que gera I. Esse gerador monico é justamente o polinômio minimal de T.

Passo 3

Para definir diagonalizabilidade, usamos o conceito de base de autovetores. Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T. Nesse caso, a matriz de T nessa base é diagonal, ou seja, T é semelhante a uma matriz diagonal.

Resposta

a) O polinômio minimal de um operador linear T é o único polinômio monico de menor grau mT(x)inBbb K[x] tal que
mT(T)=0,
ou seja, o gerador monico do ideal pinBbb K[x]mid p(T)=0.
b) Um operador linear T é diagonalizável se existe uma base de V formada por autovetores de T, isto é, se a matriz de T numa base apropriada é diagonal.

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