Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1) em relação a um sistema cartesiano de coordenadas. Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 12.
A=(3,0,2) B=(2,1,2);

Passo 1

O enunciado dá os pontos P=(1,0,1) e Q=(0,1,1) e pede um ponto C sobre a reta PQ tal que a área do triângulo ABC, com
A=(3,0,2), B=(2,1,2),
seja tfrac12.
Conteúdo: área de triângulo em R^3 via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta PQ. Como PQ=Q-P=(-1,1,0), um ponto genérico é
C(t)=P+t,(Q-P)=(1,0,1)+t,(-1,1,0)=(1-t,;t,;1)

Passo 3

Escrevemos os vetores das arestas do triângulo em função de t:
AB=B-A=(2-3,;1-0,;2-2)=(-1,1,0),
AC(t)=C(t)-A=(1-t-3,;t-0,;1-2)=(-2-t,;t,;-1)

Passo 4

A área do triângulo é
A(t)=tfrac12l|ABtimesAC(t)r|
Calculamos o produto vetorial:
ABtimesAC(t) = i & j & k -1 & 1 & 0 -2-t & t & -1 =(-1,,-1,,2),
cujo módulo é raiz(-1)^2+(-1)^2+2^2=raiz6. Logo
A(t)=12,raiz6
é constante, independentemente de t.

Passo 5

Para ter A(t)=tfrac12 precisaríamos
raiz62=12 Longrightarrow raiz6=1,
o que não ocorre. Portanto não existe nenhum t tal que a área seja tfrac12.

Resposta

Não existe ponto C sobre a reta PQ que torne a área do triângulo ABC igual a tfrac12.

Exercícios relacionados