Sejam P=(1,0,1) e Q=(0,1,1) em relação a um sistema cartesiano de coordenadas. Em cada um dos casos a seguir ache um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 12.
A=(1,3,2) B=(2,2,2);

Passo 1

O enunciado dá os pontos
P=(1,0,1), Q=(0,1,1), A=(1,3,2), B=(2,2,2)
e pede um ponto C sobre a reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja tfrac12. Vamos usar a parametrização da reta e a fórmula da área via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos C em função de um parâmetro t:
PQ=Q-P=(-1,1,0),
então
C = P + t,(Q-P) = (1,0,1) + t(-1,1,0) = (1-t,;t,;1)

Passo 3

Construímos os vetores de lado do triângulo partindo de A:
AB = B-A = (2-1,;2-3,;2-2) = (1,-1,0),
AC = C-A = l((1-t)-1,;t-3,;1-2r) = (-t,;t-3,;-1)

Passo 4

A área de ABC é
Área = 12,l|ABtimesACr| Á
Calculando o produto vetorial:
ABtimesAC = (1,-1,0)times(-t,t-3,-1) = (1,,1,,-3),
cujo módulo é
l|(1,1,-3)r| = raiz1^2+1^2+(-3)^2 = raiz11
Logo
Área = 12,raiz11 Á

Passo 5

Como tfrac12raiz11 é constante (independe de t) e vale aproximadamente 1,66, nunca pode ser tfrac12.

Resposta

Não existe ponto C na reta PQ tal que a área do triângulo ABC seja tfrac12.

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