Defina a posição
do centro de massa de um sistema de
partículas no espaço tridimensional. Partindo do somatório faças as considerações necessárias, assim como esboços, e mostre que o centro de massa de uma distribuição continua pode ser dada por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de $ n $ partículas no espaço tridimensional e queremos encontrar a posição do centro de massa desse sistema. O conteúdo envolvido aqui é a Física Clássica, mais especificamente o estudo do centro de massa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, somatórios e integrais para transitar do sistema de partículas discretas para uma distribuição contínua.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. Para um sistema de $ n $ partículas, a posição do centro de massa $ \vec{r}_{CM} $ é dada por:
Aqui, $ m_i $ é a massa da $ i $-ésima partícula e $ \vec{r}_i $ é sua posição no espaço.
Passo 3
Agora, queremos passar de uma soma discreta para uma integral contínua. Imagine que, em vez de ter partículas separadas, temos uma distribuição contínua de massa. Nesse caso, a soma $ \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i $ se transforma em uma integral sobre a distribuição de massa.
Assim, a posição do centro de massa para uma distribuição contínua é:
Aqui, $ dm $ representa um elemento infinitesimal de massa na distribuição.
Passo 4
Podemos simplificar essa expressão lembrando que a integral $ \int dm $ é a massa total $ M $ do sistema. Portanto, a equação fica:
Isso significa que para encontrar o centro de massa, multiplicamos cada posição $ \vec{r} $ pelo elemento de massa $ dm $, integramos sobre todo o volume do sistema e dividimos pela massa total.
Passo 5
Além disso, se a distribuição de massa é uniforme ou podemos expressar a massa em termos de densidade volumétrica $ \rho $, onde $ dm = \rho , dV $, a expressão para o centro de massa também pode ser escrita em termos de integrais sobre o volume:
Aqui, $ V $ é o volume total da distribuição. Essa forma é útil quando conhecemos bem a distribuição espacial da massa no volume considerado.
Resposta
Portanto, demonstramos que a posição do centro de massa de uma distribuição contínua é dada por: