Um determinado canhão dispara n partículas, ao longo do eixo x, cada uma de massa m num intervalo de tempo De.
b) Sabendo que o canhão tem massa M, determine o recuo sofrido pelo canhão

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um canhão com massa M que dispara n partículas, cada uma com massa m, ao longo do eixo x, e cada disparo acontece em um intervalo de tempo De. Queremos descobrir quanto o canhão vai recuar por causa desses disparos. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação do momento, que diz que, se não há forças externas agindo no sistema, o momento total antes de algum evento é igual ao momento total após o evento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento total das partículas que estão sendo disparadas. O momento ( p) de uma partícula é dado por:
p = m cdot v
onde v é a velocidade da partícula. Como temos n partículas, o momento total das partículas será:
Ppartículas = n cdot m cdot v í

Passo 3

Segundo o princípio da conservação do momento, o momento total do sistema (canhão mais partículas) deve ser o mesmo antes e depois dos disparos. Se o canhão estava parado antes de disparar, o momento total inicial é zero. Após disparar as partículas, o momento das partículas para frente deve ser equilibrado pelo momento do canhão para trás:
Pcanhão = -Ppartículas ãí
Isso significa que:
M cdot V = -n cdot m cdot v
onde V é a velocidade de recuo do canhão.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar a velocidade de recuo V:
V = -n cdot m cdot vM
O sinal negativo indica que o canhão está se movendo na direção oposta ao disparo das partículas.

Passo 5

Agora, para encontrar o deslocamento total ( S) que o canhão sofre devido ao recuo, vamos considerar o tempo total durante o qual os disparos ocorrem. Se cada disparo leva um intervalo de tempo De e são n disparos, o tempo total é:
ttotal = n cdot De
Assumindo que a velocidade de recuo V se mantém constante durante todo o tempo, o deslocamento é dado por:
S = V cdot ttotal = (-n cdot m cdot vM) cdot (n cdot De
O sinal negativo indica o deslocamento na direção oposta ao disparo.

Resposta

O recuo sofrido pelo canhão é dado por:
S = dfracn^2 cdot m cdot v cdot De

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