Uma onda estacionária em uma corda fixa em suas duas extremidades tem como equação y(x, t)=(0,024) sen(52,3 x) cos (480 t). Encontre: A velocidade máxima atingida pela partícula que compõe a corda em x=30 cm.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos apresenta uma onda estacionária numa corda fixa em ambas as extremidades, descrita pela equação $ y(x, t) = 0,024 , \sin(52,3x) \cos(480t) $. O conteúdo envolve ondas estacionárias e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a velocidade máxima de uma partícula na corda em um ponto específico, que neste caso é $ x = 30 $ cm.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os componentes da equação da onda estacionária:
  • $ y(x, t) = 0,024 , \sin(52,3x) \cos(480t) $
Aqui, $ 0,024 $ metros é a amplitude máxima da onda ($ y_{máx} $), $ 52,3 $ rad/m é o número de onda ($ k $), e $ 480 $ rad/s é a frequência angular ($ \omega $).

Passo 3

A velocidade da partícula na corda é dada pela derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ y(x, t) $ em relação a $ t $:
y(x, t)

Passo 4

A velocidade máxima ocorre quando $ \sin(480t) = \pm 1 sin(480t) = pm 1 á v_{máx} $) em um ponto $ x $ é:
vmáx á

Passo 5

Agora, substituímos $ x = 30 $ cm ($ 0,3 $ m) na expressão:
x = 30 á
Calculando o argumento do seno:
0,3

Passo 6

Calculamos $ \sin(15,69) $. Sabemos que $ 15,69 $ radianos é equivalente a:
sin(15,69)
Assim, $ \sin(15,69) $ é aproximadamente $ \sin(3,124) $, que é próximo de $ \sin(\pi) = 0 $. No entanto, para maior precisão:
15,69

Passo 7

Substituindo de volta na equação da velocidade máxima:
vmáx(0,3) = 0,024 times 480 times 0,02 = 0,024 times 480 times 0,02 = 0,2304 m/s á

Resposta

A velocidade máxima atingida pela partícula na posição $ x = 30 $ cm é aproximadamente $ 0,23 , m/s $.

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