Uma onda estacionária em uma corda fixa em suas duas extremidades tem como equação
. Encontre: A velocidade máxima atingida pela partícula que compõe a corda em
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos apresenta uma onda estacionária numa corda fixa em ambas as extremidades, descrita pela equação $ y(x, t) = 0,024 , \sin(52,3x) \cos(480t) $. O conteúdo envolve ondas estacionárias e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a velocidade máxima de uma partícula na corda em um ponto específico, que neste caso é $ x = 30 $ cm.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os componentes da equação da onda estacionária:
- $ y(x, t) = 0,024 , \sin(52,3x) \cos(480t) $
Aqui, $ 0,024 $ metros é a amplitude máxima da onda ($ y_{máx} $), $ 52,3 $ rad/m é o número de onda ($ k $), e $ 480 $ rad/s é a frequência angular ($ \omega $).
Passo 3
A velocidade da partícula na corda é dada pela derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ y(x, t) $ em relação a $ t $:
Passo 4
A velocidade máxima ocorre quando $ \sin(480t) = \pm 1
v_{máx} $) em um ponto $ x $ é:
Passo 5
Agora, substituímos $ x = 30 $ cm ($ 0,3 $ m) na expressão:
Calculando o argumento do seno:
Passo 6
Calculamos $ \sin(15,69) $. Sabemos que $ 15,69 $ radianos é equivalente a:
Assim, $ \sin(15,69) $ é aproximadamente $ \sin(3,124) $, que é próximo de $ \sin(\pi) = 0 $. No entanto, para maior precisão:
Passo 7
Substituindo de volta na equação da velocidade máxima:
Resposta
A velocidade máxima atingida pela partícula na posição $ x = 30 $ cm é aproximadamente $ 0,23 , m/s $.