Defina produto de Kronecker para matrizes e dê três exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o produto de Kronecker entre duas matrizes e apresentar três exemplos numéricos. O conteúdo envolve produtos de matrizes em blocos, bilinearidade e dimensões resultantes.

Passo 2

Sejam A=(aij)inR^mtimes n e BinR^ptimes q. O produto de Kronecker Aotimes B é a matriz de tamanho mptimes nq obtida substituindo cada entrada aij de A pelo bloco aijB. Em forma de blocos:
Aotimes B = a11B & a12B & cdots & a1nB a21B & a22B & cdots & a2nB vdots & vdots & ddots & vdots am1B & am2B & cdots & amnB

Passo 3

Exemplo 1: ambas matrizes 2times2.
Defina
A=1 & 23 & 4, B=0 & 56 & 7
Então
Aotimes B = 1cdot B & 2cdot B 3cdot B & 4cdot B = 0 & 5 & 0 &10 6 & 7 &12 &14 0 &15 & 0 &20 18&21 &24 &28

Passo 4

Exemplo 2: A é 1times2 e B é 2times1.
Defina
A=(1;;2), B=34
Como Aotimes B tem dimensão 1cdot2 por 2cdot1, ou seja 2times2, temos
Aotimes B =l(1cdot B;;2cdot Br) =3&64&8

Passo 5

Exemplo 3: caso escalar.
Se A=(2) é 1times1 e
B=1&2&34&5&6,
então Aotimes B=2cdot B é 2times3:
Aotimes B =2&otimes B =2 1&2&34&5&6 = 2&4&68&10&12

Resposta

Definição: Sejam A=(aij)inR^mtimes n e BinR^ptimes q. O produto de Kronecker Aotimes B é a matriz de dimensão mptimes nq obtida em blocos como
Aotimes B = a11B & a12B & cdots & a1nB a21B & a22B & cdots & a2nB vdots & vdots & ddots & vdots am1B & am2B & cdots & amnB
Exemplos:
  1. Para
    A=1&23&4,B=0&56&7,
    Aotimes B=0&5&0&106&7&12&140&15&0&2018&21&24&28
  2. Para
    A=(1;2),B=34,
    Aotimes B=3&64&8
  3. Para
    A=(2),B=1&2&34&5&6,
    Aotimes B=2&4&68&10&12

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