Defina produto de Kronecker para matrizes e dê três exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o produto de Kronecker entre duas matrizes e apresentar três exemplos numéricos. O conteúdo envolve produtos de matrizes em blocos, bilinearidade e dimensões resultantes.
Passo 2
Sejam e . O produto de Kronecker é a matriz de tamanho obtida substituindo cada entrada de pelo bloco . Em forma de blocos:
Passo 3
Exemplo 1: ambas matrizes 2times2.
Defina
A=1 & 23 & 4, B=0 & 56 & 7
Então
Aotimes B = 1cdot B & 2cdot B 3cdot B & 4cdot B = 0 & 5 & 0 &10 6 & 7 &12 &14 0 &15 & 0 &20 18&21 &24 &28
Passo 4
Exemplo 2: A é 1times2 e B é 2times1.
Defina
A=(1;;2), B=34
Como Aotimes B tem dimensão 1cdot2 por 2cdot1, ou seja 2times2, temos
Aotimes B =l(1cdot B;;2cdot Br) =3&64&8
Passo 5
Exemplo 3: caso escalar.
Se A=(2) é 1times1 e
B=1&2&34&5&6,
então Aotimes B=2cdot B é 2times3:
Aotimes B =2&otimes B =2 1&2&34&5&6 = 2&4&68&10&12
Resposta
Definição: Sejam A=(aij)inR^mtimes n e BinR^ptimes q. O produto de Kronecker Aotimes B é a matriz de dimensão mptimes nq obtida em blocos como