Seja A uma matriz n times n cujos autovalores são lambda1, lambda2, ldots, lambdan e correspondentes autovetores ortonomais e1, e2, ldots, en. A decomposição espectral de A é dada por
A=Q Lambda Q^-1
onde Q é a matriz n times n cujas colunas são formadas pelos autovetores e Lambda=diag(lambda1, lambda2, ldots, lambdan) é a matriz diagonal formada pelos autovalores de A.
Seja A=(ll2 & 1 5 & 6). Encontre a decomposição espectral de A e de A^-1.
Se A for uma matriz simétrica, então a decomposição espectral de A é dada por
A=Q Lambda Q^top
Obtenha a decomposição espectral de A=(cc2 & -1 -1 & 2).
Dê mais três exemplos de decomposição espectral de uma matriz.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a decomposição espectral de matrizes quadradas, ou seja, escrever
A = Q,Lambda,Q^-1
quando A é diagonalizável, e
A = Q,Lambda,Q^top
no caso simétrico. Precisamos calcular autovalores, autovetores (ortogonais no caso simétrico), montar Q e Lambda e, para A^-1, usar Lambda^-1.

Passo 2

Para
calculamos o polinômio característico:
As raízes são
escolhemos ,
tomamos é
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]

Passo 3

Como A^-1 = Q,Lambda^-1,Q^-1 e
Lambda^-1 = 1^-1 & 0[3pt]0 & 7^-1 =1 & 0[3pt]0 & tfrac17,
temos imediatamente
A^-1 = Q 1 & 0[3pt]0 & tfrac17 Q^-1 ]

Passo 4

Agora
A = 2 & -1[3pt]-1 & 2
é simétrica. O polinômio característica é
det(A-lambda I) =(2-lambda)^2 -(-1)^2 =lambda^2-4lambda+3,
cuja raízes são lambda1=1, lambda2=3.
Para lambda1=1:
(A-I)x=0 ;Longrightarrow; x1 - x2 = 0 ;Rightarrow; v1=(1,1)^top
Para lambda2=3:
(A-3I)x=0 ;Longrightarrow; - x1 - x2 = 0 ;Rightarrow; v2=(1,-1)^top
Ortonormalizamos:
e1 = 1raiz2(1,1)^top, e2 = 1raiz2(1,-1)^top
Então
Q = e1 & e2 =1raiz2 1 & 1[3pt]1 & -1, Lambda = 1 & 0[3pt]0 & 3,
e como Q^-1=Q^top segue
A = Q,Lambda,Q^top ]

Passo 5

Três exemplos adicionais de decomposição espectral:
1 Matriz diagonal A=4&0[3pt]0&9.
Lambda=diag(4,9), Q=I.
2 Matriz simétrica trocando coordenadas A=0&1[3pt]1&0.
Autovalores 1,-1, autovetores ortonormais e1+e2 e e1-e2 normalizados,
Q=1raiz21&1[3pt]1&-1, Lambda=1&0[3pt]0&-1,
e A=Q,Lambda,Q^top.
3 Matriz triangular não-simétrica A=3&1[3pt]0&2.
Autovalores 3,2; autovetores v1=(1,0)^top, v2=(1,-1)^top.
Q=1&1[3pt]0&-1, Lambda=3&0[3pt]0&2,
e A=Q,Lambda,Q^-1.
]

Resposta

Para
A=2&1[3pt]5&6:
Q=1&1[3pt]-1&5, Lambda=1&0[3pt]0&7, Q^-1=165&-1[3pt]1&1,
de modo que A=Q,Lambda,Q^-1.
Para A^-1:
A^-1=Q,1&0[3pt]0&tfrac17,Q^-1
Para
A=2&-1[3pt]-1&2:
Q=1raiz21&1[3pt]1&-1, Lambda=1&0[3pt]0&3,
e A=Q,Lambda,Q^top.
Três exemplos extras estão descritos no Passo 5 acima.]

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