Seja agora
A=(ll 1 & 2 0 & 1 )
calcule A^n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência A^n de uma matriz 2times2
A = 1 & 20 & 1
O conteúdo que vamos usar é a decomposição de A como soma da identidade com uma matriz nilpotente e depois aplicar o teorema binomial para matrizes.

Passo 2

Observamos que podemos escrever
A = I + N,
onde
I = 1 & 00 & 1, N = 0 & 20 & 0
Note que N^2 = 0, pois
N^2 = 0 & 20 & 0 0 & 20 & 0 =0 & 00 & 0

Passo 3

Como A = I+N e N^2=0, basta usar o binômio de Newton para matrizes:
A^n = (I + N)^n = sumk=0^n binomnk I^,n-kN^k
Como N^k=0 para k>=2, a soma reduz a
A^n = I + n,N

Passo 4

Finalmente, substituindo N em I + nN, obtemos
A^n = 1 & 00 & 1 + n0 & 20 & 0 = 1 & 2n0 & 1

Resposta

A^n = 1 & 2n0 & 1

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