Dê dois exemplos de decomposição LU e LDU.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente dois exemplos de fatoração LU e, em seguida, a fatoração LDU para as mesmas matrizes. O conteúdo aqui é a eliminação de Gauss sem pivotamento, onde extraímos uma matriz triangular inferior L e uma triangular superior U, e depois normalizamos U para ter 1 na diagonal construindo a fatoração LDU.

Passo 2

Exemplo 1: considere
A = 2 & 3 [4pt] 4 & 7
Fazendo eliminação de Gauss:
  • O pivô é a11=2. O multiplicador para zerar a21 é ell21=42=2.
  • Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda, obtemos
U = 2 & 3 [4pt] 0 & 7 - 2cdot 3 = 2 & 3 [4pt] 0 & 1
Logo,
L = 1 & 0 [4pt] 2 & 1, U = 2 & 3 [4pt] 0 & 1,
e temos
A = L,U ]

Passo 3

Para a fatoração LDU de A, extraímos a diagonal de U em D e normalizamos U:
D = 2 & 0 [4pt] 0 & 1, U' = D^-1U = 1 & 32 [4pt] 0 & 1
Como L já tem uns na diagonal, a fatoração fica
A = L,D,U' ]

Passo 4

Exemplo 2: considere
B = 1 & 2 & 3 [4pt] 4 & 5 & 6 [4pt] 7 & 8 & 10
Aplicando eliminação de Gauss sem pivotar:
1. Pivô b11=1. Multiplicadores ell21=4, ell31=7. Subtraindo:
R2 >=ts R2 - 4R1 = (0,,-3,,-6), R3 >=ts R3 - 7R1 = (0,,-6,,-11)
2. Pivô b22'=-3. Multiplicador ell32=-6-3=2. Subtraindo:
R3 >=ts R3 - 2R2 = (0,,0,,1)
Assim obtemos
U = 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & -3 & -6 [4pt] 0 & 0 & 1 , L = 1 & 0 & 0 [4pt] 4 & 1 & 0 [4pt] 7 & 2 & 1 ,
e
B = L,U ]

Passo 5

Para a fatoração LDU de B, extraímos a diagonal de U em
D = 1 & 0 & 0 [4pt] 0 & -3 & 0 [4pt] 0 & 0 & 1 ,
e normalizamos U para ficar U' com 1 na diagonal:
U' = D^-1U = 1 & 2 & 3 [4pt] 0 & 1 & 2 [4pt] 0 & 0 & 1
Como L já é unitária na diagonal, concluímos
B = L,D,U' ]

Resposta

Exemplo 1, A=2&34&7:
A = underbrace1&02&1L underbrace2&30&1U, A = underbrace1&02&1L underbrace2&00&1D underbrace1&3/20&1U'
Exemplo 2, B=1&2&34&5&67&8&10:
B = underbrace1&0&04&1&07&2&1L underbrace1&2&30&-3&-60&0&1U, B = underbrace1&0&04&1&07&2&1L underbrace1&0&00&-3&00&0&1D underbrace1&2&30&1&20&0&1U'

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