Defina Quantidade Pivotal.

Passo 1

O enunciado nos pede para definirmos o conceito de quantidade pivotal, que é um tópico de inferência estatística. Para isso, precisamos lembrar o que é uma estatística e como sua distribuição pode depender ou não de parâmetros desconhecidos do modelo.

Passo 2

Uma estatística é uma função dos dados amostrais X=(X_1,\dots,X_n), digamos T=T(X). Em geral, T tem uma distribuição que depende de parâmetros desconhecidos \theta do modelo, por exemplo \Normal(\mu,\sigma^2).

Passo 3

Uma quantidade pivotal é uma função de X e do parâmetro \theta, digamos
U = U(X,\theta),
que satisfaz a condição fundamental: a distribuição de U não depende de \theta. Em outras palavras, o conjunto de possíveis valores e as probabilidades associadas a U são fixos, independentemente do valor real de \theta.

Passo 4

Esse objeto é muito útil para construir intervalos de confiança, pois sabendo que
U \sim F_U
sem parâmetro desconhecido, podemos inverter relações do tipo
\Pr\bigl(a \le U(X,\theta)\le b\bigr)=1-\alpha
para obter limites em \theta.

Resposta

Uma quantidade pivotal é uma função U(X,\theta) dos dados amostrais X e do parâmetro \theta cuja distribuição não depende de nenhum parâmetro desconhecido. Por exemplo, em uma amostra normal com \sigma conhecida,
U = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}
é pivotal pois \bar X\sim \Normal(\mu,\sigma^2/n) leva a U\sim \Normal(0,1) independente de \mu.

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