Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de uma densidade f(x ; \theta), em que X é a variável aleatória e \theta o parâmetro desconhecido.Qual(is) medida(s) a seguir são estatísticas? Justifique.
Definição de estatística: Uma estatística é uma função da amostra que não depende de parâmetros desconhecidos. Em outras palavras, uma estatística é qualquer função baseada apenas nas observações da amostra, sem depender de \theta ou outros parâmetros populacionais.
A=\operatorname{Máx}\left(x_{i}\right)-\operatorname{Min}\left(x_{i}\right)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma densidade f(x;\theta) e pergunta quais das medidas dadas são estatísticas. Lembrando a definição:
Uma estatística é qualquer função das observações da amostra que não envolva o parâmetro desconhecido \theta.

Passo 2

Analisamos
A = \max(X_{1},\dots,X_{n}) \;-\;\min(X_{1},\dots,X_{n}).
Veja que A é obtido apenas a partir dos valores observados X_{1},\dots,X_{n} e não faz menção a \theta. Portanto, A é uma função das observações e independe de qualquer parâmetro populacional.

Resposta

A é estatística, pois depende somente dos valores da amostra e não de \theta.

Exercícios relacionados