Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de uma densidade f(x ; \theta), em que X é a variável aleatória e \theta o parâmetro desconhecido.Qual(is) medida(s) a seguir são estatísticas? Justifique.
Definição de estatística: Uma estatística é uma função da amostra que não depende de parâmetros desconhecidos. Em outras palavras, uma estatística é qualquer função baseada apenas nas observações da amostra, sem depender de \theta ou outros parâmetros populacionais.
s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n-1}

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma densidade f(x;\theta) e lembra que uma estatística é qualquer função das observações que não dependa de \theta. Em seguida, é dada a medida
s^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}
e pede-se verificar se essa medida é de fato uma estatística.

Passo 2

Para ser estatística, a função deve usar apenas dados x_{1},\dots,x_{n} e quantidades calculadas a partir deles, sem envolver o parâmetro desconhecido \theta. Observamos que
  • cada x_{i} é um valor observado da amostra,
  • \bar{x} = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i} depende somente dos x_{i},
  • o divisor n-1 é conhecido e não envolve \theta.
    Logo s^{2} é função puramente das observações e não contém \theta.

Resposta

s^{2} é estatística, pois depende exclusivamente dos valores amostrais x_{1},\dots,x_{n} e não de parâmetros desconhecidos.

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