a) (
pt) De quantas formas 8 meninas e 8 meninos podem se sentar em 8 bancos duplos de um trem de forma que cada banco contenha um menino e uma menina e duas destas meninas, Anne e Beatriz, nāo estejam em bancos consecutivos?
b) (
) E se forem bancos de uma roda gigante?
b) (
Passo 1
O enunciado pede o número de acomodações de
meninas e
meninos em
bancos duplos, de modo que cada banco tenha exatamente uma menina e um menino, e que duas meninas fixas, Anne e Beatriz, não ocupem bancos consecutivos. No item (a) os bancos estão dispostos em fila (adjacência somente entre
e
); no item (b) estão dispostos em círculo (adjacência entre
e
e também entre
e
). Vamos primeiro contar as colocações das meninas respeitando a restrição, depois distribuir os meninos e por fim escolher os lados dentro de cada banco.
Passo 2
Sem restrição, o número de maneiras de colocar as
meninas nos
bancos distintos é
pois é uma permutação das meninas em
lugares.
Passo 3
Contagem dos casos proibidos (Anne e Beatriz em bancos consecutivos) quando os bancos estão em fila:
- Há
pares consecutivos . - Em cada par podemos colocar
em ordens. - As outras
meninas vão nos lugares restantes de modos.
Logo o total de casos proibidos é
Passo 4
Portanto, o número de colocações válidas das meninas na fila é
Em seguida escolhemos uma bijeção dos
meninos para os
bancos em
modos, e para cada banco decidimos qual assento (esquerda ou direita) ficará com a menina e qual com o menino em
opções, totalizando
. Assim, para a fila:
Passo 5
Agora, para os
bancos dispostos em círculo, a diferença é que existem
pares adjacentes
–
, …,
–
, e
–
. O total sem restrição continua
. O número de casos proibidos passa a ser
Logo as colocações válidas das meninas no círculo são
Multiplicamos de novo por
para os meninos e por
para os lados dos assentos, obtendo
Resposta
Para bancos em fila:
Para bancos em roda-gigante (círculo):