a) ( \mathbf{0 , 5} pt) De quantas formas 8 meninas e 8 meninos podem se sentar em 8 bancos duplos de um trem de forma que cada banco contenha um menino e uma menina e duas destas meninas, Anne e Beatriz, nāo estejam em bancos consecutivos?
b) ( \mathbf{0 , 5} \mathrm{pt} ) E se forem bancos de uma roda gigante?

Passo 1

O enunciado pede o número de acomodações de 8 meninas e 8 meninos em 8 bancos duplos, de modo que cada banco tenha exatamente uma menina e um menino, e que duas meninas fixas, Anne e Beatriz, não ocupem bancos consecutivos. No item (a) os bancos estão dispostos em fila (adjacência somente entre i e i+1); no item (b) estão dispostos em círculo (adjacência entre i e i+1 e também entre 8 e 1). Vamos primeiro contar as colocações das meninas respeitando a restrição, depois distribuir os meninos e por fim escolher os lados dentro de cada banco.

Passo 2

Sem restrição, o número de maneiras de colocar as 8 meninas nos 8 bancos distintos é 8! pois é uma permutação das meninas em 8 lugares.

Passo 3

Contagem dos casos proibidos (Anne e Beatriz em bancos consecutivos) quando os bancos estão em fila:
  • 7 pares consecutivos (1,2),(2,3),\dots,(7,8).
  • Em cada par podemos colocar \{\text{Anne},\text{Beatriz}\} em 2 ordens.
  • As outras 6 meninas vão nos 6 lugares restantes de 6! modos.
Logo o total de casos proibidos é
7 \times 2 \times 6!.

Passo 4

Portanto, o número de colocações válidas das meninas na fila é
8! \;-\; 7\cdot2\cdot6! \;=\;40320 \;-\;10080 \;=\;30240.
Em seguida escolhemos uma bijeção dos 8 meninos para os 8 bancos em 8! modos, e para cada banco decidimos qual assento (esquerda ou direita) ficará com a menina e qual com o menino em 2 opções, totalizando 2^8. Assim, para a fila:
\bigl(30240\bigr)\times 8!\times 2^8.

Passo 5

Agora, para os 8 bancos dispostos em círculo, a diferença é que existem 8 pares adjacentes 1 2, …, 7 8, e 8 1. O total sem restrição continua 8!. O número de casos proibidos passa a ser
8 \times 2 \times 6! \;=\;8\cdot2\cdot720 \;=\;11520.
Logo as colocações válidas das meninas no círculo são
8! \;-\;8\cdot2\cdot6! \;=\;40320 \;-\;11520 \;=\;28800.
Multiplicamos de novo por 8! para os meninos e por 2^8 para os lados dos assentos, obtendo
\bigl(28800\bigr)\times 8!\times 2^8.

Resposta

Para bancos em fila:
30240 \times 8! \times 2^8.
Para bancos em roda-gigante (círculo):
28800 \times 8! \times 2^8.

Exercícios relacionados