Questão 4 (1 ponto) Uma partícula se move no espaço com a scguinte restrição: da posição (x, y, z) è pocadvel is apenas para uma das posições (x+1, y, z),(x, y+1, z) ou (x, y, z+1).
a) (0,5 \mathrm{pt}) Quantos são os possivés caminhos de (0,0,0) até (6,5,7) ?
b) ( 0.5 pt ) Destes, quantos passam por ( 2,2,2 )?

Passo 1

O enunciado pede o número de caminhos num grid 3D em que cada passo é (1,0,0), (0,1,0) ou (0,0,1). Do ponto (0,0,0) a (6,5,7) são ao todo 6 passos em x, 5 em y e 7 em z, e o conteúdo é contagem de permutações com repetição (coeficiente multinomial).

Passo 2

Como há 6+5+7=18 passos e queremos escolher quais 6 são em x, quais 5 são em y e quais 7 são em z, o total de caminhos é
\frac{18!}{6!\,5!\,7!}.

Passo 3

Para contar os que passam por (2,2,2), partimos de (0,0,0) até (2,2,2). Nesse trecho há 2+2+2=6 passos, sendo 2 em cada direção, de modo que
\frac{6!}{2!\,2!\,2!}
caminhos atingem (2,2,2).

Passo 4

Do ponto (2,2,2) até (6,5,7) são incrementos de (4,3,5), totalizando 4+3+5=12 passos. O número de caminhos nesse trecho é
\frac{12!}{4!\,3!\,5!}.
Pelo princípio multiplicativo, o total que passa por (2,2,2) é o produto dos dois números acima.

Resposta

a) \displaystyle \frac{18!}{6!\,5!\,7!}
b) \displaystyle \frac{6!}{2!\,2!\,2!}\times\frac{12!}{4!\,3!\,5!}

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