Defina a sequência
dada recursivamente por
para
. Comprove que
é uma sequência monótona e limitada. Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. Aqui, a sequência é dada por:
-
-
para
Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre aumenta ou sempre diminui) e limitada (não cresce indefinidamente), e também encontrar o limite para o qual ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como critérios de monotonicidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para termos uma ideia de como ela se comporta.
Observamos que os termos estão aumentando. Isso sugere que a sequência pode ser crescente.
Passo 3
Vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que
para todo
.
Para isso, consideremos a diferença
.
Observamos que, se
, então
, e como
, temos
. Portanto,
, ou seja,
.
Como
e, assumindo que
, então
, mas na verdade, com cálculos anteriores, vemos que a sequência não ultrapassa 1. Vamos ajustar isso no próximo passo.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 1.
Como vimos no passo anterior que
, e se assumirmos que
, então:
Isso mostra que, se
, então
. Como
, por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 1. Assim, a sequência é limitada acima por 1.
Como a sequência é crescente e limitada acima, ela é monótona e limitada.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o limite
da sequência. Sabemos que, se a sequência converge, então
.
Usando a relação de recorrência:
Resolvendo essa equação:
Portanto,
ou
.
Mas observamos que a sequência está aumentando e começa em 0,3, então o limite não pode ser 0. Assim, o limite é 1.
Resposta
A sequência
é monótona crescente, limitada superiormente por 1 e converge para o limite
.