Defina a sequência an dada recursivamente por a1=0,3 e an+1=an(2-an) para n >= 2. Comprove que an é uma sequência monótona e limitada. Encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. Aqui, a sequência é dada por:
  • a1 = 0,3
  • an+1 = an times (2 - an) para n >= 2
Nosso objetivo é mostrar que essa sequência é monótona (ou seja, sempre aumenta ou sempre diminui) e limitada (não cresce indefinidamente), e também encontrar o limite para o qual ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como critérios de monotonicidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para termos uma ideia de como ela se comporta.
  • a1 = 0,3
  • a2 = 0,3 times (2 - 0,3) = 0,3 times 1,7 = 0,51
  • a3 = 0,51 times (2 - 0,51) = 0,51 times 1,49 approx 0,7599
  • a4 = 0,7599 times (2 - 0,7599) approx 0,7599 times 1,2401 approx 0,9447
Observamos que os termos estão aumentando. Isso sugere que a sequência pode ser crescente.

Passo 3

Vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que an+1 > an para todo n >= 1 .
Para isso, consideremos a diferença an+1 - an = an(2 - an) - an = an(1 - an) .
Observamos que, se an < 1 , então 1 - an > 0 , e como an > 0 , temos an(1 - an) > 0 . Portanto, an+1 - an > 0 , ou seja, an+1 > an .
Como a1 = 0,3 < 1 e, assumindo que an < 1 , então an+1 < an(2 - an) < 1 times (2 - 0) = 2 , mas na verdade, com cálculos anteriores, vemos que a sequência não ultrapassa 1. Vamos ajustar isso no próximo passo.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada superiormente por 1.
Como vimos no passo anterior que an+1 = an(2 - an) , e se assumirmos que an <= 1 , então:
an+1 = an(2 - an) <= 1 times (2 - 1) = 1
Isso mostra que, se an <= 1 , então an+1 <= 1 . Como a1 = 0,3 < 1 , por indução, todos os termos da sequência são menores ou iguais a 1. Assim, a sequência é limitada acima por 1.
Como a sequência é crescente e limitada acima, ela é monótona e limitada.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o limite L da sequência. Sabemos que, se a sequência converge, então limn to infty an = limn to infty an+1 = L .
Usando a relação de recorrência:
L = L times (2 - L)
Resolvendo essa equação:
L = 2L - L^2
L^2 = L
L(L - 1) = 0
Portanto, L = 0 ou L = 1 .
Mas observamos que a sequência está aumentando e começa em 0,3, então o limite não pode ser 0. Assim, o limite é 1.

Resposta

A sequência an é monótona crescente, limitada superiormente por 1 e converge para o limite L = 1 .

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