Seja an a sequência de Fibonacci dada recursivamente por a1=a2=1 e an+1=an+an-1 para todo n >= 2. Usando indução matemática comprove que
an=1raiz5[(1+raiz52)^n-(1-raiz52)^n]

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a sequência de Fibonacci. A questão pede para provar, usando indução matemática, que a fórmula fechada da sequência de Fibonacci é:
an=1raiz5[(1+raiz52)^n-(1-raiz52)^n]
Para isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Sabemos que a1 = 1 e a2 = 1 .
Vamos calcular a1 usando a fórmula:
a1 = 1raiz5[(1+raiz52)^1 - (1-raiz52)^1]
Simplificando:
a1 = 1raiz5[1+raiz52 - 1-raiz52] = 1raiz5 cdot 2raiz52 = 1
O mesmo vale para a2 . Portanto, a fórmula está correta para os casos base.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para um termo qualquer n = k , ou seja:
ak = 1raiz5[(1+raiz52)^k - (1-raiz52)^k]
Esse é o nosso hipótese de indução. Precisamos mostrar que, se isso é verdadeiro para n = k , então também é verdadeiro para n = k + 1 .

Passo 4

Vamos calcular ak+1 usando a definição recursiva da sequência de Fibonacci:
ak+1 = ak + ak-1
Usando a hipótese de indução para ak e ak-1 :
ak+1 = 1raiz5[(1+raiz52)^k - (1-raiz52)^k] + 1raiz5[(1+raiz52)^k-1 - (1-raiz52)^k-1]

Passo 5

Vamos fatorar 1raiz5 e reorganizar os termos:
ak+1 = 1raiz5 [ (1+raiz52)^k + (1+raiz52)^k-1 - (1-raiz52)^k - (1-raiz52)^k-1 ]
Podemos escrever (1+raiz52)^k + (1+raiz52)^k-1 como (1+raiz52)^k-1 ( 1+raiz52 + 1 ) .
Da mesma forma para o termo com 1-raiz52 .

Passo 6

Vamos simplificar os parênteses:
1+raiz52 + 1 = 1+raiz5 + 22 = 3+raiz52
1-raiz52 + 1 = 1-raiz5 + 22 = 3-raiz52
Perceba que 3+raiz52 = (1+raiz52)^2 e 3-raiz52 = (1-raiz52)^2 .

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
ak+1 = 1raiz5 [ (1+raiz52)^k-1 cdot (1+raiz52)^2 - (1-raiz52)^k-1 cdot (1-raiz52)^2 ]
Isso simplifica para:
ak+1 = 1raiz5 [ (1+raiz52)^k+1 - (1-raiz52)^k+1 ]

Passo 8

Vemos que a expressão que obtivemos para ak+1 é exatamente a fórmula que queríamos provar, mas para n = k + 1 . Isso completa a etapa de indução, mostrando que se a fórmula vale para n = k , também vale para n = k + 1 .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula fechada para a sequência de Fibonacci é:
an=1raiz5[(1+raiz52)^n-(1-raiz52)^n]

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