Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escalonada reduzida usando sequências diferentes de operações elementares.
b. O algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes aumentadas de um sistema linear.
c. Uma variável dependente em um sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes.
d. Determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema linear é o mesmo que resolver o sistema.
e. Se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz aumentada for [ 00050 ], então o sistema linear associado será inconsistente.
a. Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escalonada reduzida usando sequências diferentes de operações elementares.
b. O algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes aumentadas de um sistema linear.
c. Uma variável dependente em um sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes.
d. Determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema linear é o mesmo que resolver o sistema.
e. Se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz aumentada for [ 00050 ], então o sistema linear associado será inconsistente.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos cinco afirmações sobre métodos de resolução de sistemas lineares como Verdadeiras ou Falsas, justificando cada escolha. Vamos usar conceitos de forma escalonada reduzida única, algoritmo de escalonamento (Gauss), definição de variáveis básicas e livres, descrição paramétrica de soluções e critérios de inconsistência em matrizes aumentadas.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Em alguns casos, uma matriz pode ser equivalente por linhas a mais de uma matriz em forma escalonada reduzida usando sequências diferentes de operações elementares.”
Sabemos que a forma escalonada reduzida (RREF) de uma matriz é única, independentemente da sequência de operações elementares usada. Portanto, não é possível obter duas RREF diferentes a partir da mesma matriz. Logo, a afirmação é falsa.
Sabemos que a forma escalonada reduzida (RREF) de uma matriz é única, independentemente da sequência de operações elementares usada. Portanto, não é possível obter duas RREF diferentes a partir da mesma matriz. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “O algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes aumentadas de um sistema linear.”
O procedimento de eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan é um método geral que se aplica a qualquer matriz, não apenas àquela que representa um sistema (matriz aumentada). Podemos escalonar matrizes de coeficientes, matrizes retangulares ou quadradas avulsas. Portanto, a afirmação é falsa.
O procedimento de eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan é um método geral que se aplica a qualquer matriz, não apenas àquela que representa um sistema (matriz aumentada). Podemos escalonar matrizes de coeficientes, matrizes retangulares ou quadradas avulsas. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Uma variável dependente em um sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes.”
Na terminologia comum, chamamos de variáveis básicas ou dependentes aquelas associadas às colunas pivô, pois são expressas em função das variáveis livres (independentes). Logo, é correto dizer que variável dependente corresponde a coluna pivô. A afirmação é verdadeira.
Na terminologia comum, chamamos de variáveis básicas ou dependentes aquelas associadas às colunas pivô, pois são expressas em função das variáveis livres (independentes). Logo, é correto dizer que variável dependente corresponde a coluna pivô. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema linear é o mesmo que resolver o sistema.”
Obter a forma paramétrica da solução (ou seja, expressar as variáveis básicas em função de parâmetros para as livres) corresponde exatamente a encontrar todas as soluções do sistema. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Obter a forma paramétrica da solução (ou seja, expressar as variáveis básicas em função de parâmetros para as livres) corresponde exatamente a encontrar todas as soluções do sistema. Portanto, essa afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação (e): “Se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz aumentada for
, então o sistema linear associado será inconsistente.”
Essa linha representa a equação
Essa linha representa a equação
que admite
como solução. Não há contradição (
), logo o sistema não é inconsistente. A afirmação é falsa.
Resposta
a. Falso
b. Falso
c. Verdadeiro
d. Verdadeiro
e. Falso
b. Falso
c. Verdadeiro
d. Verdadeiro
e. Falso