1. Defina o que seria valor crítico e o método do intervalo fechado.

Passo 1

O enunciado pede para explicar dois conceitos de cálculo diferencial: o que é valor crítico de uma função de variável real e como funciona o método do intervalo fechado para encontrar extremos numa função contínua definida em um intervalo [a,b]. Para isso, vamos usar o conceito de derivada e o Teorema de Weierstrass sobre existência de extremos em intervalos fechados.

Passo 2

Um valor crítico de uma função f\) é um ponto \(c\) no domínio de \(f\) onde a derivada de \(f\) se anula ou não está definida. Em outras palavras, \(c\) é valor crítico se satisfaz uma das condições: \[\begin{cases} f'\text{(c)}=0,\\\ \text{ou}\\\ f'\text{ não existe em }c. \end{cases}
Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais porque, em geral, toda ocorrência de extremo interno exige (f’(c)=0] ou quebra de diferenciabilidade.

Passo 3

O método do intervalo fechado serve para encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]. O procedimento é:
  1. Verificar se f é contínua em [a,b] (garante existência de extremos pela Weierstrass).
  2. Calcular todos os valores críticos c tais que a<c<b.
  3. Avaliar f nesses pontos críticos e também nos extremos a e b.
  4. Comparar os valores f(a), f(b) e f\text{(c)}. O maior deles é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto em [a,b].

Resposta

Valor crítico: é todo ponto c no domínio de f em que
f'\text{(c)}=0\quad\text{ou}\quad f'\text{ não está definida em }c.ãá
Método do intervalo fechado: para achar extremos absolutos de f contínua em [a,b], calcula-se todos os valores críticos interiores, avalia-se f neles e em a e b, e escolhe-se o maior valor (máximo) e o menor valor (mínimo).

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