Se
e
para
, encontre uma fórmula para
.
Passo 1
O enunciado define a sequência de funções por
e, para ,
.
Precisamos achar uma expressão fechada para . O conteúdo aqui é a iteração de uma transformação de M"obius.
e, para
Precisamos achar uma expressão fechada para
Passo 2
Observe que
é uma transformação de M"obius que pode ser representada pela matriz
pois aplicar
a
dá
. A composição de funções corresponde ao produto de matrizes.]
Passo 3
Note que
com
e
. Logo, pelo binômio de Newton,
Isso significa que a
-ésima iteração de
é
Passo 4
Como
, é fácil ver por indução que
Portanto,