Se f0(x)=x /(x+1) e fn+1=f0 circ fn para n=0,1,2, ldots, encontre uma fórmula para fn(x).

Passo 1

O enunciado define a sequência de funções por
f0(x)=xx+1
e, para n>=0,
fn+1=f0circ fn.
Precisamos achar uma expressão fechada para fn(x). O conteúdo aqui é a iteração de uma transformação de M"obius.

Passo 2

Observe que
T(x)=xx+1
é uma transformação de M"obius que pode ser representada pela matriz
M=1 & 0[6pt]1 & 1,
pois aplicar M a x 1cdot x+01cdot x+1. A composição de funções corresponde ao produto de matrizes.]

Passo 3

Note que com
e . Logo, pelo binômio de Newton,
Isso significa que a -ésima iteração de é

Passo 4

Como f0=T^1, é fácil ver por indução que
fn=T^,n+1
Portanto,
fn(x) =x(n+1)x+1

Resposta

fn(x)=x(n+1)x+1

Exercícios relacionados