Defina sobre G=Q^* times Q a operação odot dada por:
(a, b) odot(x, y)=(a x, b x+y)
Mostre que (G, odot) é um grupo.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = Q^* times Q
e a operação
(a,b)odot(x,y) = (a x,;b x + y)
Queremos mostrar que (G,odot) é um grupo, ou seja, verificar fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso para cada elemento.

Passo 2

Fechamento: sejam (a,b) e (x,y) em G. Como a,xinQ^*, o produto a x também pertence a Q^*. E como b,yinQ, a soma b x + y pertence a Q. Logo
(a,b)odot(x,y)in Q^*timesQ=G
Associatividade: tomemos (a,b),(x,y),(u,v)in G. Primeiro calculemos
(x,y)odot(u,v) = (x u,;y u + v)
e então
(a,b)odotl((x,y)odot(u,v)r) = (a,;b)odot(xu,;y u+v) = l(a(xu),;b,(xu)+(y u+v)r) = l(a x u,;(b x + y),u + vr)
Por outro lado,
(a,b)odot(x,y) = (a x,;b x + y),
de onde
l((a,b)odot(x,y)r)odot(u,v) = (a x,;b x + y)odot(u,v) = l((a x)u,;(b x + y),u + vr)
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.

Passo 3

Elemento neutro: buscamos e=(e1,e2) tal que para todo (a,b)in G
eodot(a,b) = (a,b) e (a,b)odot e = (a,b)
Escrevendo
(e1,e2)odot(a,b) = (e1 a,;e2 a + b) stackrel!= (a,b)
implica e1=1 e e2cdot a + b = b para todo a, ou seja e2=0. De modo análogo em (a,b)odot(e1,e2). Portanto o neutro é
e = (1,0)

Passo 4

Inverso: dado (a,b)in G, procuramos (a',b') tal que
(a,b)odot(a',b') = (1,0) e (a',b')odot(a,b) = (1,0)
Pela definição,
(a,b)odot(a',b') = (a,a',;b,a' + b') stackrel!= (1,0)
de onde a,a'=1 e b,a' + b'=0. Assim a'=a^-1 e b'=-b,a^-1. Verifica-se que também
(a',b')odot(a,b) = l(a^-1a,;(-b a^-1)a + br) = (1,0),
logo o inverso de (a,b) é
(a,b)^-1 = l(a^-1,;-b,a^-1r)

Resposta

Concluímos que (G,odot) é um grupo com elemento neutro
(1,0)
e inverso de cada (a,b) dado por
(a,b)^-1 = l(a^-1,;-b,a^-1r)

Exercícios relacionados