Defina sobre
a operação
dada por:
Mostre que
é um grupo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e a operação
Queremos mostrar que
é um grupo, ou seja, verificar fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e de inverso para cada elemento.
Passo 2
Fechamento: sejam
e
em
. Como
, o produto
também pertence a
. E como
, a soma
pertence a
. Logo
Associatividade: tomemos
. Primeiro calculemos
e então
Por outro lado,
de onde
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.
Passo 3
Elemento neutro: buscamos
tal que para todo
Escrevendo
implica
e
para todo
, ou seja
. De modo análogo em
. Portanto o neutro é
Passo 4
Inverso: dado
, procuramos
tal que
Pela definição,
de onde
e
. Assim
e
. Verifica-se que também
logo o inverso de
é
Resposta
Concluímos que
é um grupo com elemento neutro
e inverso de cada
dado por