Sabendo que De<a f(x, y)=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2, dada a função f(x, y)=ln (raizx^2+y^2) calcule De<a f(x, y).

Passo 1

O enunciado define o laplaciano
De<a f(x,y)=partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2
e nos dá a função
f(x,y)=lnraizx^2+y^2.
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de logaritmo para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f usando propriedades de logaritmo:
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r)^1/2 =tfrac12lnl(x^2+y^2r)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais primeiras aplicando a regra da cadeia:
fx=12cdot1x^2+y^2cdot 2x=xx^2+y^2, fy=12cdot1x^2+y^2cdot 2y=yx^2+y^2

Passo 4

Agora derivamos fx em relação a x (regra do quociente):
fxx =(1)(x^2+y^2)-xcdot 2x(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2

Passo 5

De modo análogo, derivamos fy em relação a y:
fyy =(1)(x^2+y^2)-ycdot 2y(x^2+y^2)^2 =x^2+y^2-2y^2(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 6

Somando as segundas derivadas:
De<a f =fxx+fyy =y^2-x^2(x^2+y^2)^2+x^2-y^2(x^2+y^2)^2 =0

Resposta

De<a f(x,y)=0 para (x,y)neq(0,0).

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