Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z=1+raizx^2+y^2 no ponto P=(1,1,1+raiz2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
z = 1 + raizx^2+y^2
no ponto
P=(1,1,1+raiz2).
Vamos usar o fato de que, para uma função de duas variáveis z=f(x,y), o plano tangente em (x0,y0,f(x0,y0)) é dado por
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Definimos
f(x,y) = 1 + raizx^2+y^2,
e confirmamos que em (x0,y0)=(1,1) temos
f(1,1) = 1 + raiz1^2+1^2 = 1 + raiz2,
coincidindo com a coordenada z de P.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f. Como
raizx^2+y^2 = (x^2+y^2)^1/2,
temos
fx(x,y) = partialpartial xl(1+(x^2+y^2)^1/2r) = xraizx^2+y^2,
fy(x,y) = partialpartial yl(1+(x^2+y^2)^1/2r) = yraizx^2+y^2

Passo 4

Avaliando em (1,1):
fx(1,1) = 1raiz2, fy(1,1) = 1raiz2

Passo 5

Substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
z - l(1+raiz2r) = 1raiz2(x-1) + 1raiz2(y-1)
Podemos reescrever de modo mais direto:
z = 1 + raiz2 + x-1raiz2 + y-1raiz2

Resposta

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