Seja (G, oplus) um grupo e e o elemento neutro de G relativo à oplus. Prove, para a, b in G quaisquer, que se tem:
b) Se a neq e é tal que a oplus x=a oplus y, para x, y in G, então x=y.

Passo 1

O enunciado diz que (G,oplus) é um grupo com elemento neutro e. Queremos mostrar a propriedade de cancelamento à esquerda: para quaisquer a,x,yin G, se
aneq e e aoplus x = aoplus y,
então x=y.
Para isso vamos usar dois fatos fundamentais de grupos: a existência de inverso de cada elemento e a associatividade de oplus.

Passo 2

Como ain G e G é grupo, existe o inverso de a, que denotamos por a^-1, tal que
a^-1oplus a = e
Aplicamos a^-1 à esquerda da igualdade dada aoplus x = aoplus y, obtendo
a^-1oplusl(aoplus xr) ;=; a^-1oplusl(aoplus yr)

Passo 3

Pela associatividade da operação oplus temos
l(a^-1oplus ar)oplus x ;=; l(a^-1oplus ar)oplus y
Mas a^-1oplus a=e, logo a igualdade vira
eoplus x = eoplus y

Passo 4

Pelo fato de e ser elemento neutro, eoplus x = x e eoplus y = y. Portanto da igualdade anterior segue
x = y

Resposta

Concluímos que, para qualquer aneq e em G, a igualdade aoplus x = aoplus y implica x=y, o que prova o cancelamento à esquerda em grupos.

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