Seja
um grupo e
o elemento neutro de
relativo à
. Prove, para
quaisquer, que se tem:
b) Se
é tal que
, para
, então
.
b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo com elemento neutro
. Queremos mostrar a propriedade de cancelamento à esquerda: para quaisquer
, se
então
.
Para isso vamos usar dois fatos fundamentais de grupos: a existência de inverso de cada elemento e a associatividade de .
Para isso vamos usar dois fatos fundamentais de grupos: a existência de inverso de cada elemento e a associatividade de
Passo 2
Como
e
é grupo, existe o inverso de
, que denotamos por
, tal que
Aplicamos
à esquerda da igualdade dada
, obtendo
Passo 3
Pela associatividade da operação
temos
Mas
, logo a igualdade vira
Passo 4
Pelo fato de
ser elemento neutro,
e
. Portanto da igualdade anterior segue
Resposta
Concluímos que, para qualquer
em
, a igualdade
implica
, o que prova o cancelamento à esquerda em grupos.