Defina sobre G=Q^* times Q a operação oplus dada por:
(a, b) oplus(c, d)=(a c, b c+d)
Pode-se provar que (G, oplus) é um grupo. Isto posto, qual é o elemento neutro desse grupo? Se (x, y) in G, determine x^prime (simétrico de x em relação à operação considerada).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G=Q^*timesQ
com a operação
(a,b)oplus(c,d)=(a,c,;b,c+d)
Precisamos encontrar o elemento neutro ein G e, dado (x,y)in G, o simétrico (inverso) de (x,y) em relação a oplus.

Passo 2

Procuramos e=(e1,e2) tal que, para todo (a,b)in G,
(e1,e2)oplus(a,b)=(a,b)
Pela definição de oplus,
(e1,a,;e2,a+b)=(a,b)
Da primeira coordenada vem
e1,a=aforall ainQ^*;Longrightarrow;e1=1,
e da segunda
e2,a+b=bforall ainQ^*;Longrightarrow;e2,a=0;Longrightarrow;e2=0
Logo o neutro é
e=(1,0)

Passo 3

Para o inverso de (x,y) buscamos (x',y') tal que
(x,y)oplus(x',y')=(1,0)
Isto é
(x,x',;y,x'+y')=(1,0)
Da primeira coordenada segue
x,x'=1;Longrightarrow;x'=x^-1
Da segunda coordenada vem
y,x'+y'=0;Longrightarrow;y'=-y,x'
Substituindo x'=1/x obtemos
y'=-yx
Portanto o inverso de (x,y) é l(x^-1,-y/xr).

Resposta

O elemento neutro é (1,0) e, para (x,y)in G, o inverso é
(x,y)^-1=l(x^-1,,-tfracyxr)

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