Quais dos seguintes subconjuntos de Z13^* são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
1, 12

Passo 1

O enunciado considera o grupo multiplicativo Z13^* (que tem ordem 12) e pergunta se o subconjunto
S = 1,,12
é um subgrupo de Z13^*. Para isso vamos usar o critério de subgrupo: verificar que S contém a identidade, é fechado em relação ao produto e que todo elemento tem inverso em S.

Passo 2

Verificamos se a identidade do grupo, que é 1, pertence a S. De fato 1in S.

Passo 3

Verificamos a fechamento: precisamos checar todos os produtos possíveis em S.
1cdot1=1, 1cdot12=12, 12cdot12=144=144-13cdot11=1
Todos esses resultados estão em S, logo S é fechado.

Passo 4

Verificamos inversos em S. O inverso de 1 é 1, que está em S. Como vimos acima,
12cdot12=1, então o inverso de 12 também é 12, que está em S.

Resposta

S=1,,12 é de fato um subgrupo de Z13^*.

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