Quais dos seguintes subconjuntos de são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
Passo 1
O enunciado considera o grupo multiplicativo Z13^* (que tem ordem 12) e pergunta se o subconjunto
S = 1,,12
é um subgrupo de Z13^*. Para isso vamos usar o critério de subgrupo: verificar que S contém a identidade, é fechado em relação ao produto e que todo elemento tem inverso em S.
Passo 2
Verificamos se a identidade do grupo, que é 1, pertence a S. De fato 1in S.
Passo 3
Verificamos a fechamento: precisamos checar todos os produtos possíveis em S.
1cdot1=1, 1cdot12=12, 12cdot12=144=144-13cdot11=1
Todos esses resultados estão em S, logo S é fechado.
Passo 4
Verificamos inversos em S. O inverso de 1 é 1, que está em S. Como vimos acima, 12cdot12=1, então o inverso de 12 também é 12, que está em S.