Seja
um grupo. Suponhamos que
é o elemento neutro do grupo e que
. Se
, prove que:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um grupo
com elemento neutro
e inverso de cada
denotado por
. Em particular,
é o inverso de
, ou seja,
Queremos mostrar a equivalência
Usaremos as propriedades de associatividade, elemento neutro e inverso em grupos.
Passo 2
Prova da implicação direta
.
Suponha . Então, usando associatividade, temos
Suponha
pois
é o inverso de
. Logo
.
Passo 3
Prova da implicação inversa
.
Suponha . Então, ainda por associatividade,
Suponha
Por outro lado, como
, segue
Daí
Resposta
Provamos as duas direções, logo