Seja G um grupo. Suponhamos que e é o elemento neutro do grupo e que a, b, c in G. Se c=c^prime, prove que:
a oplus b=c Leftrightarrow a oplus b oplus c=e

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um grupo (G,oplus) com elemento neutro e e inverso de cada xin G denotado por x'. Em particular, c' é o inverso de c, ou seja,
coplus c' = e = c'oplus c
Queremos mostrar a equivalência
aoplus b = c Leftrightarrow aoplus boplus c' = e
Usaremos as propriedades de associatividade, elemento neutro e inverso em grupos.

Passo 2

Prova da implicação direta l(aoplus b = cr)impliesl(aoplus boplus c' = er).
Suponha aoplus b = c. Então, usando associatividade, temos
(aoplus b)oplus c' = coplus c' = e,
pois c' é o inverso de c. Logo aoplus boplus c' = e.

Passo 3

Prova da implicação inversa l(aoplus boplus c' = er)impliesl(aoplus b = cr).
Suponha aoplus boplus c' = e. Então, ainda por associatividade,
l(aoplus boplus c'r)oplus c = aoplus boplus (c'oplus c) = aoplus boplus e = aoplus b
Por outro lado, como aoplus boplus c' = e, segue
eoplus c = c
Daí
aoplus b = l(aoplus boplus c'r)oplus c = eoplus c = c

Resposta

Provamos as duas direções, logo
aoplus b = c Leftrightarrow aoplus boplus c' = e

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