Mostre que
munido da operação
, definida por:
é um grupo abeliano.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que precisamos mostrar.
Temos o conjunto dos números racionais com a operação interna
dada por
Temos o conjunto dos números racionais
Queremos verificar que
satisfaz as quatro propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e ainda que a operação seja comutativa, provando que é um grupo abeliano.
Passo 2
Fechamento.
Sejam . Então
e
, de modo que
Sejam
Logo, a operação está bem definida em
.
Passo 3
Associatividade.
Para quaisquer calculamos
Para quaisquer
e
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.
Passo 4
Elemento neutro.
Procuramos tal que para todo
valha
Procuramos
Isso é
Verifica-se também
. Logo o neutro é
.
Passo 5
Inversos.
Dado , buscamos
tal que
Dado
Ou seja,
Como
, todo elemento tem inverso em
.
Passo 6
Comutatividade.
Para quaisquer ,
Para quaisquer
Portanto a operação é comutativa.
Resposta
Como a operação
satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro
, inversos dados por
e é comutativa, concluímos que
é um grupo abeliano.