Mostre que Q munido da operação oplus, definida por:
x otimes y=x+y-13
é um grupo abeliano.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos mostrar.
Temos o conjunto dos números racionais Q com a operação interna oplus dada por
x oplus y = x + y - 13
Queremos verificar que (Q,oplus) satisfaz as quatro propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos) e ainda que a operação seja comutativa, provando que é um grupo abeliano.

Passo 2

Fechamento.
Sejam x,yinQ. Então x+yinQ e tfrac13inQ, de modo que
xoplus y = x + y - tfrac13inQ
Logo, a operação está bem definida em Q.

Passo 3

Associatividade.
Para quaisquer x,y,zinQ calculamos
(xoplus y)oplus z = l(x+y-tfrac13r) + z - tfrac13 = x + y + z - tfrac23,
e
xoplus (yoplus z) = x + l(y+z-tfrac13r) - tfrac13 = x + y + z - tfrac23
Como os dois resultados coincidem, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento neutro.
Procuramos einQ tal que para todo xinQ valha
xoplus e = x
Isso é
x + e - tfrac13 = x Longrightarrow e = tfrac13
Verifica-se também eoplus x = tfrac13 + x - tfrac13 = x. Logo o neutro é e=tfrac13.

Passo 5

Inversos.
Dado xinQ, buscamos yinQ tal que
xoplus y = e = tfrac13
Ou seja,
x + y - tfrac13 = tfrac13 Longrightarrow y = tfrac23 - x
Como tfrac23-xinQ, todo elemento tem inverso em Q.

Passo 6

Comutatividade.
Para quaisquer x,yinQ,
xoplus y = x + y - tfrac13 = y + x - tfrac13 = yoplus x
Portanto a operação é comutativa.

Resposta

Como a operação oplus satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro e=tfrac13, inversos dados por x^-1=tfrac23-x e é comutativa, concluímos que (Q,oplus) é um grupo abeliano.

Exercícios relacionados