Quais dos seguintes subconjuntos de Z13^* são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)?
1, 5, 8, 12

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
H = 1,,5,,8,,12
é subgrupo de Z13^* sob multiplicação. Para isso vamos usar o critério de subgrupo finito: basta mostrar que H é fechado sob a operação e que todo elemento de H tem seu inverso em H. A identidade e a associatividade já são garantidas por herança de Z13^*.

Passo 2

Verificamos o fechamento multiplicativo em Z13. Calculamos todos os produtos relevantes, reduzindo módulo 13:
5cdot5&=25equiv12, 5cdot8&=40equiv1, 5cdot12&=60equiv8, 8cdot8&=64equiv12, 8cdot12&=96equiv5, 12cdot12&=144equiv1
Todos os resultados são 1,5,8 ou 12, logo H é fechado.

Passo 3

Verificamos identidade e inversos:
  • A identidade 1 pertence a H.
  • Inversos em H: (5)^-1=8, (8)^-1=5, (12)^-1=12
Todos os inversos estão em H.

Passo 4

Como Z13^* é associativo e H herda essa associatividade, tendo já fechamento e inversos, concluímos que H é subgrupo de Z13^*.

Resposta

O conjunto 1,5,8,12 é um subgrupo de Z13^*.

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