Defina soma direta:

Passo 1

O enunciado pede a definição de soma direta, que é um conceito de álgebra linear envolvendo subespaços de um espaço vetorial V. Para isso, precisamos lembrar primeiro o que é a soma de dois subespaços e depois identificar a condição extra que torna essa soma “direta”.

Passo 2

Sejam U e W subespaços de V. A soma de U e W é o conjunto
U + W = ,u + w mid u in U,;w in W
Esse é também um subespaço de V, pois é fechado sob adição e multiplicação escalar.

Passo 3

A soma U + W é chamada de soma direta, denotada por
U oplus W,
se, além de U + W cobrir todo o espaço (ou seja, U+W=V quando queremos recobrir V), tiver a interseção trivial
U cap W = 0
Em outras palavras, toda decomposição
v = u + w, uin U,;win W,
é única. A condição Ucap W=0 garante que não exista outra forma de representar o mesmo v como soma de um elemento de U e um de W.

Resposta

Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Dizemos que
V = U oplus W
é a soma direta de U e W se e somente se
  1. V = U + W.
  2. U cap W = 0.
Nesse caso, cada vetor vin V se escreve de modo único como v = u + w com uin U e win W.

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