Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0 e z+t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z=0 e t=0 subespaços de R^4.
Exiba uma base e a dimensão de W1 cap W2. Justifique sua resposta.
Exiba uma base e a dimensão de W1+W2. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define em R^4 os subespaços
W1=(x,y,z,t)mid x+y=0,;z+t=0,
W2=(x,y,z,t)mid x-y+z=0,;t=0,
e pede base e dimensão de W1cap W2 e de W1+W2. Vamos parametrizar cada subespaço, depois achar a interseção resolvendo o sistema conjunto, e usar a fórmula da dimensão da soma.

Passo 2

Parametrizando W1: das equações x+y=0 e z+t=0 segue y=-x e t=-z. Então
(x,y,z,t)=(x,-x,z,-z)=x,(1,-1,0,0)+z,(0,0,1,-1)
Uma base de W1 é
(1,-1,0,0),;(0,0,1,-1),
logo dim(W1)=2.

Passo 3

Parametrizando W2: de x-y+z=0 e t=0 vem x=y-z e t=0. Assim
(x,y,z,t)=(y-z,y,z,0)=y,(1,1,0,0)+z,(-1,0,1,0)
Uma base de W2 é
(1,1,0,0),;(-1,0,1,0),
logo dim(W2)=2.

Passo 4

Para
De segue . Então e , logo . Só há o vetor zero. Portanto
e a base é o conjunto vazio.

Passo 5

Pela fórmula
dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1cap W2)=2+2-0=4
Como R^4 tem dimensão 4 e W1+W2subseteqR^4, concluímos W1+W2=R^4. Uma base explícita de W1+W2 pode ser a união das bases de W1 e W2:
(1,-1,0,0),;(0,0,1,-1),;(1,1,0,0),;(-1,0,1,0)

Resposta

Base de W1cap W2: emptyset. Dimensão: 0.
Base de W1+W2: (1,-1,0,0),,(0,0,1,-1),,(1,1,0,0),,(-1,0,1,0). Dimensão: 4.

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