Defina soma direta de subespaços vetorias e dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definir a soma direta de dois subespaços vetoriais e dar exemplos. O assunto é álgebra linear, tema “soma de subespaços” e condição de interseção trivial para garantir unicidade de decomposição.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de soma de subespaços. Dados dois subespaços U e W de um mesmo espaço vetorial V, definimos
U + W = ,u + w mid uin U,;win W
Esse conjunto é também um subespaço de V, e contém todos os vetores que podem ser obtidos como soma de um vetor de U com um de W.

Passo 3

A soma U + W é chamada de direta, e escrita Uoplus W, se cada vetor vin U + W admite decomposição única v=u+w. Mostra-se que isso ocorre exatamente quando
U cap W = 0
Em outras palavras, não há nenhum vetor não-nulo que pertença simultaneamente a U e a W, garantindo unicidade da forma u+w.

Passo 4

Exemplo em R^2: seja
U = span(1,0), W = span(0,1)
Claramente Ucap W=(0,0) e U+W=R^2. Logo
R^2 = U oplus W

Passo 5

Exemplo em R^3: seja
U = (x,y,0)mid x,yinR, W = span(0,0,1)
Temos Ucap W=(0,0,0) e U+W=R^3, portanto R^3 = Uoplus W.

Passo 6

Exemplo de soma que não é direta: em R^2, tome
U = span(1,1), W = span(1,1)
Aqui Ucap W=Uneq0, e um mesmo vetor (por ex. (1,1)) pode ser escrito de formas diferentes, então não é soma direta.

Resposta

Definimos a soma direta de subespaços U e W de V como
V = U oplus W Long<=ftrightarrow V = U + W e Ucap W=0,
o que equivale a dizer que cada vetor de V tem decomposição única u+w.
Exemplos:
1. Em R^2,
U=span(1,0), W=span(0,1),R^2=Uoplus W
2. Em R^3,
U=(x,y,0), W=span(0,0,1),R^3=Uoplus W
3. Contraexemplo em R^2: tomar U=W=span(1,1) não dá soma direta, pois Ucap Wneq0.

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