Defina soma direta de subespaços vetorias e dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pede para definir a soma direta de dois subespaços vetoriais e dar exemplos. O assunto é álgebra linear, tema “soma de subespaços” e condição de interseção trivial para garantir unicidade de decomposição.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de soma de subespaços. Dados dois subespaços
e
de um mesmo espaço vetorial
, definimos
Esse conjunto é também um subespaço de
, e contém todos os vetores que podem ser obtidos como soma de um vetor de
com um de
.
Passo 3
A soma
é chamada de direta, e escrita
, se cada vetor
admite decomposição única
. Mostra-se que isso ocorre exatamente quando
Em outras palavras, não há nenhum vetor não-nulo que pertença simultaneamente a
e a
, garantindo unicidade da forma
.
Passo 4
Exemplo em
: seja
Claramente
e
. Logo
Passo 5
Exemplo em
: seja
Temos
e
, portanto
.
Passo 6
Exemplo de soma que não é direta: em
, tome
Aqui
, e um mesmo vetor (por ex.
) pode ser escrito de formas diferentes, então não é soma direta.
Resposta
Definimos a soma direta de subespaços
e
de
como
o que equivale a dizer que cada vetor de
tem decomposição única
.
Exemplos:
. Em
,
Exemplos: