Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
2 x1+x2+3 x3=0
-2 x1-x2+2 x3=0
-x1+x3=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema homogêneo
2x1 + x2 + 3x3 = 0,
-2x1 - x2 + 2x3 = 0,
-,x1 + x3 = 0,
encontrando uma base do espaço solução (o núcleo da matriz de coeficientes) e a dimensão desse espaço. Vamos usar eliminação de Gauss para determinar todas as soluções e daí ver se surgem parâmetros livres ou só a solução trivial.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações para eliminar x1 nas linhas 2 e 3:
2 & 1 & 3 [6pt] -2 & -1 & 2 [6pt] -1 & 0 & 1
Fazemos
R2 R2+R1, R3 R3+tfrac12,R1
]

Passo 3

Após as operações temos
R2=[0,;0,;5], R3=[0,;0,5,;2,5]
Em forma de equações isso significa
5x3=0, 0,5,x2+2,5,x3=0

Passo 4

Da segunda nova equação 5x3=0 segue x3=0.
Substituindo em 0,5,x2+2,5,x3=0 0,5,x2=0, logo x2=0.
Por fim, voltando à primeira equação original
2x1+x2+3x3=0
temos 2x1=0, ou seja x1=0.

Passo 5

O único vetor solução é o vetor nulo (0,0,0). Isso significa que o espaço solução é (0,0,0), que tem dimensão zero e admite somente a base vazia.

Resposta

A base do espaço solução é o conjunto vazio e a dimensão desse espaço é 0.

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