Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o sistema homogêneo
encontrando uma base do espaço solução (o núcleo da matriz de coeficientes) e a dimensão desse espaço. Vamos usar eliminação de Gauss para determinar todas as soluções e daí ver se surgem parâmetros livres ou só a solução trivial.
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos operações para eliminar nas linhas e :
Fazemos
R2 R2+R1, R3 R3+tfrac12,R1
]
Passo 3
Após as operações temos
R2=[0,;0,;5], R3=[0,;0,5,;2,5]
Em forma de equações isso significa
5x3=0, 0,5,x2+2,5,x3=0
Passo 4
Da segunda nova equação 5x3=0 segue x3=0.
Substituindo em 0,5,x2+2,5,x3=0 dá 0,5,x2=0, logo x2=0.
Por fim, voltando à primeira equação original
2x1+x2+3x3=0
temos 2x1=0, ou seja x1=0.
Passo 5
O único vetor solução é o vetor nulo (0,0,0). Isso significa que o espaço solução é (0,0,0), que tem dimensão zero e admite somente a base vazia.
Resposta
A base do espaço solução é o conjunto vazio e a dimensão desse espaço é 0.