Defina uma soma e um produto por escalar para que o conjunto
de modo que
seja um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos definir uma soma e um produto por escalar para que
seja um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, principalmente sobre como somar vetores e multiplicar vetores por escalares.
Passo 2
Vamos começar definindo a soma de dois vetores em
. Se tivermos dois vetores
e
em
, a soma deles será feita componente a componente. Ou seja:
Explicação: Aqui, somamos os números reais
e
normalmente, e também somamos os números complexos
e
da mesma maneira. Essa definição garante que a soma de dois vetores em
também estará em
, respeitando a estrutura do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos definir o produto por escalar. Se tivermos um escalar
e um vetor
, o produto por escalar será:
Explicação: Multiplicamos o número real
pelo escalar
normalmente, e também multiplicamos o número complexo
pelo escalar
. Isso mantém o resultado dentro de
, já que
está em
e
está em
.
Passo 4
Com essas definições de soma e produto por escalar, precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas. Isso inclui propriedades como associatividade, comutatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso, e a distributividade do produto por escalar sobre a soma de vetores e escalares. Como estamos utilizando a soma e o produto por escalar padrão de
e
, todas essas propriedades são naturalmente satisfeitas.
Resposta
Portanto, definimos a soma e o produto por escalar em
da seguinte maneira para que
seja um espaço vetorial sobre
: