Defina uma soma e um produto por escalar para que o conjunto V=R times C=(x, z) mid x in R, z in C de modo que V seja um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto V = R times C = (x, z) mid x in R, z in C e precisamos definir uma soma e um produto por escalar para que V seja um espaço vetorial sobre R . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, principalmente sobre como somar vetores e multiplicar vetores por escalares.

Passo 2

Vamos começar definindo a soma de dois vetores em V . Se tivermos dois vetores (x1, z1) e (x2, z2) em V , a soma deles será feita componente a componente. Ou seja:
(x1, z1) + (x2, z2) = (x1 + x2, z1 + z2)
Explicação: Aqui, somamos os números reais x1 e x2 normalmente, e também somamos os números complexos z1 e z2 da mesma maneira. Essa definição garante que a soma de dois vetores em V também estará em V , respeitando a estrutura do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos definir o produto por escalar. Se tivermos um escalar c in R e um vetor (x, z) in V , o produto por escalar será:
c cdot (x, z) = (c cdot x, c cdot z)
Explicação: Multiplicamos o número real x pelo escalar c normalmente, e também multiplicamos o número complexo z pelo escalar c . Isso mantém o resultado dentro de V , já que c cdot x está em R e c cdot z está em C .

Passo 4

Com essas definições de soma e produto por escalar, precisamos verificar se todas as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas. Isso inclui propriedades como associatividade, comutatividade da soma, existência de elemento neutro e inverso, e a distributividade do produto por escalar sobre a soma de vetores e escalares. Como estamos utilizando a soma e o produto por escalar padrão de R e C , todas essas propriedades são naturalmente satisfeitas.

Resposta

Portanto, definimos a soma e o produto por escalar em V = R times C da seguinte maneira para que V seja um espaço vetorial sobre R :
(x1, z1) + (x2, z2) = (x1 + x2, z1 + z2) c cdot (x, z) = (c cdot x, c cdot z)

Exercícios relacionados