Mostre que
é um espaço vetorial sobre
. Exiba uma base para o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que
é um espaço vetorial sobre
. Isso significa verificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial quando consideramos os vetores com escalares reais. Além disso, vamos precisar encontrar uma base para esse espaço, ou seja, um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço. Para resolver isso, vamos lembrar das definições de espaço vetorial, operações de vetor, e conceito de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse conjunto consiste em pares ordenados de números complexos, ou seja,
onde
e
são números complexos. Como estamos considerando
sobre
, nossos escalares serão números reais.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
satisfaz as propriedades de um espaço vetorial sobre
. As propriedades incluem fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de vetor zero, existência de inversos aditivos, etc. Vamos checar algumas delas:
- Fechamento sob adição: Se pegarmos dois vetores
e em , sua soma é , que também pertence a . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor
por um escalar real , obtemos , que ainda está em . - Existência do vetor zero: O vetor
está em e atua como o elemento neutro da adição. - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor
, existe tal que .
Todas essas propriedades são satisfeitas, então
é realmente um espaço vetorial sobre
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores.
Como estamos trabalhando sobre
, precisamos considerar
como um espaço vetorial real. Cada número complexo pode ser escrito como
, onde
e
são números reais.
Assim, podemos representar um vetor
em
como
, onde
são reais.
Isso significa que cada componente do vetor tem duas partes reais, então o espaço
sobre
é essencialmente
. Precisamos, portanto, de 4 vetores para formar uma base.
Passo 5
Vamos construir uma base. Podemos separar as partes reais e imaginárias dos vetores. Uma base possível é composta por:
-
- Representa a parte real da primeira componente. -
- Representa a parte imaginária da primeira componente. -
- Representa a parte real da segunda componente. -
- Representa a parte imaginária da segunda componente.
Esses quatro vetores são linearmente independentes e qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles com coeficientes reais.
Resposta
Portanto,
é um espaço vetorial sobre
e uma base para esse espaço é: