Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(a, b). Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u oplus v=(x a, y b);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma definição diferente de soma de vetores no espaço bidimensional, ou seja, em R^2. A gente vai manter a definição normal de multiplicação de um número por um vetor, mas mudar a forma como somamos dois vetores. Especificamente, a soma está definida como u oplus v = (x cdot a, y cdot b), onde u = (x, y) e v = (a, b). Nosso objetivo é verificar quais axiomas de espaço vetorial continuam valendo e quais não valem com essa nova definição de soma.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os axiomas de um espaço vetorial. Em geral, para que um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certos axiomas, como:
  1. Fechamento pela adição: A soma de dois vetores está sempre no espaço.
  2. Comutatividade da adição: u oplus v = v oplus u.
  3. Associatividade da adição: (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  4. Existência do elemento neutro (vetor zero): Existe um vetor 0 tal que u oplus 0 = u.
  5. Existência dos inversos aditivos: Para todo vetor u, existe um vetor -u tal que u oplus (-u) = 0.
  6. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: a(bu) = (ab)u.
  7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores: a(u oplus v) = au oplus av.
  8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = au oplus bu.
  9. Identidade multiplicativa: 1u = u.
Vamos analisar cada um desses axiomas com a nossa nova definição de soma.

Passo 3

1. Fechamento pela adição:
A definição u oplus v = (x cdot a, y cdot b) envolve multiplicação de componentes. Como estamos em R^2, e o produto de números reais é um número real, a soma de dois vetores segundo essa definição também resulta em um vetor em R^2.
Conclusão: Este axioma vale.
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se u oplus v = v oplus u.
u oplus v = (x cdot a, y cdot b)
v oplus u = (a cdot x, b cdot y)
Como a multiplicação de números reais é comutativa, temos (x cdot a, y cdot b) = (a cdot x, b cdot y).
Conclusão: Este axioma vale.

Passo 4

3. Associatividade da adição:
Precisamos verificar se (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
Vamos calcular cada lado:
  • Primeiro, u oplus v = (x cdot a, y cdot b).
    Então, (u oplus v) oplus w = ((x cdot a) cdot c, (y cdot b) cdot d) = (xac, ybd).
  • Segundo, v oplus w = (a cdot c, b cdot d).
    Então, u oplus (v oplus w) = (x cdot (a cdot c), y cdot (b cdot d)) = (xac, ybd).
Como ambos os lados resultam em (xac, ybd), a associatividade vale.
Conclusão: Este axioma vale.
4. Existência do elemento neutro (vetor zero):
Precisamos encontrar um vetor 0 = (0x, 0y) tal que u oplus 0 = u.
Calculando:
u oplus 0 = (x cdot 0x, y cdot 0y) = (0, 0)
Queremos que isso seja igual a u = (x, y), ou seja, (0, 0) = (x, y) para todo u.
Isso só é possível se x = 0 e y = 0, o que não é verdadeiro para todos os vetores.
Conclusão: Este axioma não vale.

Passo 5

5. Existência dos inversos aditivos:
Queremos que para todo u = (x, y) exista -u = (a, b) tal que u oplus (-u) = 0.
Calculando:
u oplus (-u) = (x cdot a, y cdot b) = (1, 1) (se considerarmos 0 como (1,1) para satisfazer a multiplicação).
Mas (1,1) neq (0,0), então não existe um inverso que satisfaça a condição para todo u.
Conclusão: Este axioma não vale.
6. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Vamos verificar se a(bu) = (ab)u.
Multiplicação por escalar está definida normalmente:
b u = (b x, b y)
a(b u) = (a cdot (b x), a cdot (b y)) = (ab x, ab y)
(ab) u = (ab x, ab y)
Conclusão: Este axioma vale.

Passo 6

7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
Queremos verificar se a(u oplus v) = a u oplus a v.
Calculando cada lado:
  • u oplus v = (x cdot a, y cdot b)
    Então, a(u oplus v) = (a cdot (x cdot a), a cdot (y cdot b)) = (a x a, a y b)
  • a u = (a x, a y) e a v = (a a, a b)
    Então, a u oplus a v = (a x cdot a a, a y cdot a b) = (a^2 x, a^2 y b)
Os dois lados não são iguais a menos que a = 1 ou os componentes sejam zero.
Conclusão: Este axioma não vale.
8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
Queremos verificar se (a + b)u = a u oplus b u.
Calculando cada lado:
  • (a + b)u = ((a + b)x, (a + b)y)
  • a u = (a x, a y) e b u = (b x, b y)
    Então, a u oplus b u = (a x cdot b x, a y cdot b y) = (ab x^2, ab y^2)
Os dois lados não são iguais a menos que x e y sejam 1 ou zero.
Conclusão: Este axioma não vale.
9. Identidade multiplicativa:
Queremos verificar se 1u = u.
Calculando:
1u = (1 cdot x, 1 cdot y) = (x, y) = u
Conclusão: Este axioma vale.

Resposta

Com a definição de soma u oplus v = (x cdot a, y cdot b) em R^2, os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos:
  • Fechamento pela adição
  • Comutatividade da adição
  • Associatividade da adição
  • Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
  • Identidade multiplicativa
Os seguintes axiomas são violados:
  • Existência do elemento neutro (vetor zero)
  • Existência dos inversos aditivos
  • Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
  • Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares

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