Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma definição diferente de soma de vetores no espaço bidimensional, ou seja, em
. A gente vai manter a definição normal de multiplicação de um número por um vetor, mas mudar a forma como somamos dois vetores. Especificamente, a soma está definida como
, onde
e
. Nosso objetivo é verificar quais axiomas de espaço vetorial continuam valendo e quais não valem com essa nova definição de soma.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os axiomas de um espaço vetorial. Em geral, para que um conjunto com operações de adição e multiplicação por escalar seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer certos axiomas, como:
- Fechamento pela adição: A soma de dois vetores está sempre no espaço.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento neutro (vetor zero): Existe um vetor
tal que . - Existência dos inversos aditivos: Para todo vetor
, existe um vetor tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
. - Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
. - Identidade multiplicativa:
.
Vamos analisar cada um desses axiomas com a nossa nova definição de soma.
Passo 3
1. Fechamento pela adição:
A definição envolve multiplicação de componentes. Como estamos em
, e o produto de números reais é um número real, a soma de dois vetores segundo essa definição também resulta em um vetor em
.
Conclusão: Este axioma vale.
A definição
Conclusão: Este axioma vale.
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se .
Como a multiplicação de números reais é comutativa, temos .
Conclusão: Este axioma vale.
Vamos verificar se
Como a multiplicação de números reais é comutativa, temos
Conclusão: Este axioma vale.
Passo 4
3. Associatividade da adição:
Precisamos verificar se .
Vamos calcular cada lado:
Precisamos verificar se
Vamos calcular cada lado:
- Primeiro,
.
Então,. - Segundo,
.
Então,.
Como ambos os lados resultam em
, a associatividade vale.
Conclusão: Este axioma vale.
4. Existência do elemento neutro (vetor zero):
Precisamos encontrar um vetor tal que
.
Calculando:
Queremos que isso seja igual a , ou seja,
para todo
.
Isso só é possível se e
, o que não é verdadeiro para todos os vetores.
Conclusão: Este axioma não vale.
Precisamos encontrar um vetor
Calculando:
Queremos que isso seja igual a
Isso só é possível se
Conclusão: Este axioma não vale.
Passo 5
5. Existência dos inversos aditivos:
Queremos que para todo exista
tal que
.
Calculando:
(se considerarmos
como
para satisfazer a multiplicação).
Mas , então não existe um inverso que satisfaça a condição para todo
.
Conclusão: Este axioma não vale.
Queremos que para todo
Calculando:
Mas
Conclusão: Este axioma não vale.
6. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Vamos verificar se .
Multiplicação por escalar está definida normalmente:
Conclusão: Este axioma vale.
Vamos verificar se
Multiplicação por escalar está definida normalmente:
Conclusão: Este axioma vale.
Passo 6
7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores:
Queremos verificar se .
Calculando cada lado:
Queremos verificar se
Calculando cada lado:
-
Então, -
e
Então,
Os dois lados não são iguais a menos que
ou os componentes sejam zero.
Conclusão: Este axioma não vale.
Conclusão: Este axioma não vale.
8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares:
Queremos verificar se .
Calculando cada lado:
Queremos verificar se
Calculando cada lado:
-
-
e
Então,
Os dois lados não são iguais a menos que
e
sejam 1 ou zero.
Conclusão: Este axioma não vale.
Conclusão: Este axioma não vale.
9. Identidade multiplicativa:
Queremos verificar se .
Calculando:
Conclusão: Este axioma vale.
Queremos verificar se
Calculando:
Conclusão: Este axioma vale.
Resposta
Com a definição de soma
em
, os seguintes axiomas de espaço vetorial são válidos:
- Fechamento pela adição
- Comutatividade da adição
- Associatividade da adição
- Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares
- Identidade multiplicativa
Os seguintes axiomas são violados:
- Existência do elemento neutro (vetor zero)
- Existência dos inversos aditivos
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares