Sejam V um espaço vetorial sobre K e S, W subset V subespaços vetoriais de V.
Se dim V=n, mostre que dim S <= n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se V é um espaço vetorial de dimensão dim V = n e Ssubset V é um subespaço, então dim S <= n. O que vamos usar é a definição de dimensão como o número de vetores de uma base e o fato de que toda base de S é um conjunto linearmente independente em V.

Passo 2

Seja BS uma base de S. Por definição de dimensão,
dim S = l|BSr|

Passo 3

Como BSsubset Ssubset V, o conjunto BS também é linearmente independente em V.

Passo 4

Em todo espaço vetorial de dimensão finita n, qualquer conjunto de vetores linearmente independente tem, no máximo, n elementos. Logo,
l|BSr|<= n

Resposta

dim S <= n

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