Resolva o sistema linear homogêneo por qualquer método.
v+3 w-2 x & =0 2 u+v-4 w+3 x & =0 2 u+3 v+2 w-x & =0 -4 u-3 v+5 w-4 x & =0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo em quatro incógnitas :
O conteúdo aqui é sistema linear homogêneo e vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a base do espaço nulo da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e aplicamos operações de linha. Começando por
0 & 1 & 3 & -2 2 & 1 & -4 & 3 2 & 3 & 2 & -1 -4 & -3 & 5 & -4 ,
trocamos a linha 1 pela 2 para obter pivô em ,2:
2 & 1 & -4 & 3 0 & 1 & 3 & -2 2 & 3 & 2 & -1 -4 & -3 & 5 & -4
Eliminamos abaixo usando a linha 1:
R3 R3-R1, R4 R4+2R1
produz
2 & 1 & -4 & 3 0 & 1 & 3 & -2 0 & 2 & 6 & -4 0 & -1 & -3 & 2
Em seguida, eliminamos abaixo do pivô da linha 2 via
R3 R3-2R2, R4 R4+R2
e obtemos
2 & 1 & -4 & 3 0 & 1 & 3 & -2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada temos as equações
underbracev+3w-2xR2=0, underbrace2u+v-4w+3xR1=0
Da primeira tiramos
v=-3w+2x
Na segunda substituímos v:
2u+(-3w+2x)-4w+3x=0 Longrightarrow 2u-7w+5x=0 Longrightarrow u=tfrac72w-tfrac52x
As variáveis w e x são livres.

Passo 4

Chamando w=s e x=t, a solução fica
(u,v,w,x) =l(tfrac72s-tfrac52t,,-3s+2t,,s,,tr)
Para eliminar frações, definimos novos parâmetros a=tfracs2, b=tfract2, de modo que s=2a, t=2b. Assim
(u,v,w,x) =(7a-5b,,-6a+4b,,2a,,2b) =a,(7,-6,2,0)+b,(-5,4,0,2)

Resposta

A solução geral do sistema é
(u,v,w,x) =a,(7,-6,2,0)+b,(-5,4,0,2), a,binR,
ou seja, o espaço de soluções é gerado pelos vetores (7,-6,2,0) e (-5,4,0,2).

Exercícios relacionados