Verdadeiro ou falso? Justifique as suas respostas. (3 pontos)
Qualquer um corpo contem uma identidade, e ela é única. Justifique, usando a definição de um corpo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se em todo corpo existe um elemento identidade para a multiplicação e se esse elemento é único. Lembra que um corpo F é um conjunto com duas operações, + e cdot, onde (F,+) é grupo abeliano com identidade 0 e (Fsetminus0,cdot) é grupo abeliano com identidade 1, além da distributividade.

Passo 2

A existência do elemento ,1 que satisfaz
1cdot x = xe xcdot1 = x
para todo xin F está garantida pelos axiomas de corpo. Logo, qualquer corpo contém ao menos um elemento identidade multiplicativa.

Passo 3

Para mostrar unicidade, suponha que e e e' sejam duas identidades em F. Como e é identidade, tomando x=e' temos
ecdot e' = e',
Como e' também é identidade, para x=e vale
ecdot e' = e,
Daí e'=e, o que prova que não podem existir duas identidades distintas.

Resposta

Verdadeiro.

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