Verdadeiro ou falso? Justifique as suas respostas. (3 pontos)
Qualquer um corpo contem uma identidade, e ela é única. Justifique, usando a definição de um corpo.
Qualquer um corpo contem uma identidade, e ela é única. Justifique, usando a definição de um corpo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se em todo corpo existe um elemento identidade para a multiplicação e se esse elemento é único. Lembra que um corpo
é um conjunto com duas operações,
e
, onde
é grupo abeliano com identidade
e
é grupo abeliano com identidade
, além da distributividade.
Passo 2
A existência do elemento
que satisfaz
para todo
está garantida pelos axiomas de corpo. Logo, qualquer corpo contém ao menos um elemento identidade multiplicativa.
Passo 3
Para mostrar unicidade, suponha que
e
sejam duas identidades em
. Como
é identidade, tomando
temos
Como
também é identidade, para
vale
Daí
, o que prova que não podem existir duas identidades distintas.
Resposta
Verdadeiro.