Defina trabalho, energia cinética, energia potencial e energia mecânica total de uma partícula.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina quatro grandezas para uma partícula: trabalho, energia cinética, energia potencial e energia mecânica total.
Informações relevantes dadas implicitamente: trata-se de uma única partícula que pode sofrer forças (constantes ou variáveis), e queremos as definições físicas, fórmulas, e relações entre essas grandezas.
Não há outros dados numéricos a usar — a tarefa é conceitual e com fórmulas e exemplos simples.
Informações relevantes dadas implicitamente: trata-se de uma única partícula que pode sofrer forças (constantes ou variáveis), e queremos as definições físicas, fórmulas, e relações entre essas grandezas.
Não há outros dados numéricos a usar — a tarefa é conceitual e com fórmulas e exemplos simples.
Passo 2
Vamos começar pelo conceito de trabalho. Intuitivamente, trabalho é a energia transferida para uma partícula quando uma força age e a partícula se desloca. Para uma força constante
que desloca a partícula de
até
, o trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento:
Aqui
é a força (em newtons,
) e
é o deslocamento (em metros,
). O produto escalar dá
, onde
é o ângulo entre a força e o deslocamento. A unidade de
é o joule (
):
.
Passo 3
Se a força não for constante ou o caminho for curvo, devemos somar os contributions infinitesimais de trabalho ao longo do caminho usando uma integral de linha:
onde
é a trajetória da partícula e
é um deslocamento infinitesimal ao longo de
. Esse é o caso geral: dividimos o caminho em pedacinhos onde a força pode ser considerada ~constante, multiplicamos
e somamos/integrando.
Passo 4
Agora a energia cinética. Energia cinética é a energia associada ao movimento da partícula. Para uma partícula de massa
e velocidade escalar
, a energia cinética
é dada por
Explicando as variáveis:
é a massa (em quilogramas,
) e
é a rapidez (em metros por segundo,
). A unidade de
também é joule.
Passo 5
Por que essa fórmula faz sentido? Uma maneira didática é derivá-la a partir do teorema trabalho-energia. Começamos com a segunda lei de Newton
. O trabalho realizado pela força resultante ao deslocar a partícula de
até
é
Agora usamos que
. Assim
Isso mostra o teorema trabalho-energia: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética,
. Se isolarmos
obtemos a definição
.
Passo 6
Energia potencial: é a energia que a partícula possui por causa de sua posição em um campo de forças conservativas (por exemplo, campo gravitacional ou de uma mola). Para forças conservativas existe uma função escalar
tal que o trabalho feito pela força conservativa ao mover a partícula de
para
depende só dos pontos
e
, e não do caminho. A relação entre força conservativa e energia potencial é
o que significa que a força aponta na direção de queda mais rápida de
. A variação da energia potencial relaciona-se com o trabalho da força conservativa por
Ou seja: se a força conservativa realiza trabalho positivo, a energia potencial diminui, e vice-versa.
Passo 7
Dois exemplos clássicos de energia potencial (importantes para provas):
- Gravidade próxima à superfície da Terra: escolher uma referência
em . Para uma massa a uma altura ,
onde
é a aceleração da gravidade (aprox.
). Aqui a força gravitacional é
e de fato
.
- Mola (Lei de Hooke): para uma mola unidimensional com constante elástica
e deslocamento a partir da posição de equilíbrio,
e a força da mola é
, novamente
.
Expliquei as variáveis:
é altura,
é constante da mola,
é deslocamento, e a unidade de
é joule.
Passo 8
Energia mecânica total: é a soma da energia cinética com a energia potencial:
Isto representa a energia “disponível” na partícula devido ao movimento e à posição. A lei de conservação de energia mecânica diz que, se somente forças conservativas atuam (sem forças dissipativas como atrito), a energia mecânica total é constante:
Passo 9
Relação com trabalho não conservativo: do teorema trabalho-energia temos
. Separando trabalhos por forças conservativas e não conservativas,
. Como
, obtemos
ou seja
Assim, quando forças não conservativas (por exemplo atrito) realizam trabalho negativo, a energia mecânica diminui e essa perda vai para outras formas (calor, por exemplo). Na prova é útil lembrar: sem forças não conservativas,
é constante; com atrito, a queda de
é igual ao trabalho do atrito.
Passo 10
Exemplo numérico rápido (pra fixar): uma partícula de massa
solta do repouso a uma altura
. Supondo só gravidade (sem atrito),
,
. No fundo (
),
e pela conservação
. Então a velocidade final
satisfaz
, logo
. Isso ilustra como usar
na prática.
Passo 11
Dicas para a prova (práticas, e rápidas): sempre identifique se as forças são conservativas; escolha uma referência conveniente para
(muitas vezes
no chão); use
quando souber o trabalho total; use
e conserve
quando não houver forças dissipativas; se houver atrito, calcule o trabalho de atrito e aplique
. Você consegue — respire fundo e resolva um passo de cada vez.
Resposta
Trabalho: Para uma força constante
que desloca a partícula de
até
,
. Em geral
.
Energia cinética:
, onde
é a massa e
a rapidez. O teorema trabalho-energia dá
.
Energia potencial: Função
associada a forças conservativas, com
e
. Exemplos:
(gravidade próxima à Terra) e
(mola).
Energia mecânica total:
. Se só atuam forças conservativas,
(energia mecânica conservada). Se há forças não conservativas,
.