Defina trabalho, energia cinética, energia potencial e energia mecânica total de uma partícula.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina quatro grandezas para uma partícula: trabalho, energia cinética, energia potencial e energia mecânica total.
Informações relevantes dadas implicitamente: trata-se de uma única partícula que pode sofrer forças (constantes ou variáveis), e queremos as definições físicas, fórmulas, e relações entre essas grandezas.
Não há outros dados numéricos a usar — a tarefa é conceitual e com fórmulas e exemplos simples.

Passo 2

Vamos começar pelo conceito de trabalho. Intuitivamente, trabalho é a energia transferida para uma partícula quando uma força age e a partícula se desloca. Para uma força constante \vec{F} que desloca a partícula de \vec{r}_i até \vec{r}_f, o trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento:
W = \vec{F}\cdot (\vec{r}_f-\vec{r}_i).
Aqui \vec{F} é a força (em newtons, \mathrm{N}) e \vec{r}_f-\vec{r}_i é o deslocamento (em metros, \mathrm{m}). O produto escalar dá W = F\,\Delta r\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento. A unidade de W é o joule ( \mathrm{J}): 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Se a força não for constante ou o caminho for curvo, devemos somar os contributions infinitesimais de trabalho ao longo do caminho usando uma integral de linha:
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
onde C é a trajetória da partícula e d\vec{r} é um deslocamento infinitesimal ao longo de C. Esse é o caso geral: dividimos o caminho em pedacinhos onde a força pode ser considerada ~constante, multiplicamos \vec{F}\cdot d\vec{r} e somamos/integrando.

Passo 4

Agora a energia cinética. Energia cinética é a energia associada ao movimento da partícula. Para uma partícula de massa m e velocidade escalar v, a energia cinética K é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Explicando as variáveis: m é a massa (em quilogramas, \mathrm{kg}) e v é a rapidez (em metros por segundo, \mathrm{m/s}). A unidade de K também é joule.

Passo 5

Por que essa fórmula faz sentido? Uma maneira didática é derivá-la a partir do teorema trabalho-energia. Começamos com a segunda lei de Newton \vec{F}=m\vec{a}. O trabalho realizado pela força resultante ao deslocar a partícula de \vec{r}_i até \vec{r}_f é
W=\int_{\vec{r}_i}^{\vec{r}_f}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{\vec{r}_i}^{\vec{r}_f} m\vec{a}\cdot d\vec{r}.
Agora usamos que \vec{a}\cdot d\vec{r}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}\cdot \vec{v}\,dt=\vec{v}\cdot d\vec{v}. Assim
W = m\int_{\vec{v}_i}^{\vec{v}_f}\vec{v}\cdot d\vec{v}= m\int_{v_i}^{v_f} v\,dv = \tfrac{1}{2}m\big(v_f^{2}-v_i^{2}\big).
Isso mostra o teorema trabalho-energia: o trabalho da força resultante é igual à variação da energia cinética, \;W=\Delta K. Se isolarmos K obtemos a definição \;K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.

Passo 6

Energia potencial: é a energia que a partícula possui por causa de sua posição em um campo de forças conservativas (por exemplo, campo gravitacional ou de uma mola). Para forças conservativas existe uma função escalar U(\vec{r}) tal que o trabalho feito pela força conservativa ao mover a partícula de A para B depende só dos pontos A e B, e não do caminho. A relação entre força conservativa e energia potencial é
\vec{F}(\vec{r}) = -\nabla U(\vec{r}),
o que significa que a força aponta na direção de queda mais rápida de U. A variação da energia potencial relaciona-se com o trabalho da força conservativa por
\Delta U = U(\vec{r}_f)-U(\vec{r}_i) = - W_{\text{cons}}.
Ou seja: se a força conservativa realiza trabalho positivo, a energia potencial diminui, e vice-versa.

Passo 7

Dois exemplos clássicos de energia potencial (importantes para provas):
  • Gravidade próxima à superfície da Terra: escolher uma referência U=0 em h=0. Para uma massa m a uma altura h,
U=m g h,
onde g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}). Aqui a força gravitacional é \vec{F}=-m g \hat{y} e de fato \vec{F}=-\nabla U.
  • Mola (Lei de Hooke): para uma mola unidimensional com constante elástica k e deslocamento x a partir da posição de equilíbrio,
U=\tfrac{1}{2} k x^{2},
e a força da mola é \;F=-k x, novamente \;F=-\dfrac{dU}{dx}.
Expliquei as variáveis: h é altura, k é constante da mola, x é deslocamento, e a unidade de U é joule.

Passo 8

Energia mecânica total: é a soma da energia cinética com a energia potencial:
E = K + U.
Isto representa a energia “disponível” na partícula devido ao movimento e à posição. A lei de conservação de energia mecânica diz que, se somente forças conservativas atuam (sem forças dissipativas como atrito), a energia mecânica total é constante:
\Delta E = 0 \quad\text{(se só há forças conservativas)}.óáç

Passo 9

Relação com trabalho não conservativo: do teorema trabalho-energia temos W_{\text{tot}}=\Delta K. Separando trabalhos por forças conservativas e não conservativas, W_{\text{cons}}+W_{\text{nc}}=\Delta K. Como W_{\text{cons}}=-\Delta U, obtemos
\Delta K + \Delta U = W_{\text{nc}},
ou seja
\Delta E = W_{\text{nc}}.
Assim, quando forças não conservativas (por exemplo atrito) realizam trabalho negativo, a energia mecânica diminui e essa perda vai para outras formas (calor, por exemplo). Na prova é útil lembrar: sem forças não conservativas, E é constante; com atrito, a queda de E é igual ao trabalho do atrito.

Passo 10

Exemplo numérico rápido (pra fixar): uma partícula de massa m=1\\ \mathrm{kg} solta do repouso a uma altura h=2\\ \mathrm{m}. Supondo só gravidade (sem atrito), \;K_i=0, \;U_i=mgh=1\cdot 9{,}8\cdot 2=19{,}6\\ \mathrm{J}. No fundo ( h=0), U_f=0 e pela conservação K_f=E=19{,}6\\ \mathrm{J}. Então a velocidade final v_f satisfaz \tfrac{1}{2}m v_f^{2}=19{,}6, logo v_f=\sqrt{2\cdot 19{,}6/1}\approx 6{,}26\\ \mathrm{m/s}. Isso ilustra como usar E=K+U na prática.

Passo 11

Dicas para a prova (práticas, e rápidas): sempre identifique se as forças são conservativas; escolha uma referência conveniente para U (muitas vezes U=0 no chão); use W=\Delta K quando souber o trabalho total; use E=K+U e conserve E quando não houver forças dissipativas; se houver atrito, calcule o trabalho de atrito e aplique \Delta E=W_{\text{nc}}. Você consegue — respire fundo e resolva um passo de cada vez.

Resposta

Trabalho: Para uma força constante \vec{F} que desloca a partícula de \vec{r}_i até \vec{r}_f, \;W=\vec{F}\cdot(\vec{r}_f-\vec{r}_i)=F\,\Delta r\cos\theta. Em geral \;W=\displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Energia cinética: \;K=\tfrac{1}{2}mv^{2}, onde m é a massa e v a rapidez. O teorema trabalho-energia dá \;W=\Delta K.
Energia potencial: Função U(\vec{r}) associada a forças conservativas, com \vec{F}(\vec{r})=-\nabla U(\vec{r}) e \Delta U=-W_{\text{cons}}. Exemplos: \;U=mgh (gravidade próxima à Terra) e \;U=\tfrac{1}{2}kx^{2} (mola).
Energia mecânica total: \;E=K+U. Se só atuam forças conservativas, \Delta E=0 (energia mecânica conservada). Se há forças não conservativas, \Delta E=W_{\text{nc}}.

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