Defina uma transformação linear T: P2 R^2 por T(p)=[cp(0) p(0)]. Encontre polinômios p1 e p2 em P2 que geram o núcleo de T descreva a imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para definirmos uma transformação linear T: P2 R^2 onde T(p) = p(0) p(0) . Nosso objetivo é encontrar dois polinômios p1 e p2 em P2 que geram o núcleo de T e também descrever a imagem de T . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, núcleo e imagem de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os polinômios p em P2 tal que T(p) = 0 em R^2 . Ou seja:
Ker(T) = p in P2 mid T(p) = 0 0

Passo 3

Vamos aplicar a definição de T para encontrar o núcleo. Sabemos que:
T(p) = p(0) p(0)
Para que T(p) = 0 0 , precisamos que p(0) = 0 . Portanto, o núcleo consiste em todos os polinômios de P2 que satisfazem p(0) = 0 .

Passo 4

Vamos considerar um polinômio geral de P2 :
p(x) = a x^2 + b x + c
Para que p(0) = 0 , substituímos x = 0 :
p(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 0
Portanto, no núcleo, o termo constante c deve ser zero. Assim, os polinômios no núcleo têm a forma:
p(x) = a x^2 + b x

Passo 5

Agora, precisamos encontrar dois polinômios que geram o núcleo. Observando a forma acima, podemos escolher valores para a e b que nos deem uma base para o núcleo. Por exemplo:
  1. Se a = 1 e b = 0 :
p1(x) = x^2
  1. Se a = 0 e b = 1 :
p2(x) = x
Esses dois polinômios são linearmente independentes e qualquer polinômio no núcleo pode ser escrito como combinação linear deles.

Passo 6

Agora, vamos descrever a imagem de T , que é o conjunto de todos os vetores T(p) em R^2 para p em P2 . Usando a definição de T :
Im(T) = p(0) p(0) mid p in P2
Percebemos que p(0) pode ser qualquer número real, então a imagem de T consiste em todos os vetores em R^2 onde as duas componentes são iguais. Isso forma uma linha no espaço bidimensional onde y = x .

Resposta

Os polinômios p1(x) = x^2 e p2(x) = x geram o núcleo de T . Além disso, a imagem de T é o conjunto de todos os vetores em R^2 da forma t t , onde t é um número real.

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