Encontre uma base para o conjunto de vetores em R^3 pertencentes ao plano x-3 y+2 z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para o conjunto de vetores em R^3 que pertencem ao plano definido pela equação x - 3y + 2z = 0. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente ao estudo de espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender o que é um plano em R^3, como representar vetores nele e como encontrar vetores que formam uma base para esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação do plano x - 3y + 2z = 0. Essa é uma equação linear que descreve todos os pontos (x, y, z) que estão no plano. Queremos encontrar vetores que, quando coordenados, satisfazem essa equação.

Passo 3

Para encontrar uma base, precisamos de vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço do plano. No caso de um plano em R^3, geralmente precisamos de dois vetores para formar uma base.

Passo 4

Vamos expressar a equação x - 3y + 2z = 0 de forma que possamos expressar dois dos parâmetros em função do terceiro. Por exemplo, podemos escolher y e z como parâmetros livres e resolver para x:
x = 3y - 2z
Assim, qualquer vetor no plano pode ser escrito como:
(3y - 2z, y, z)

Passo 5

Agora, vamos representar esse vetor como uma combinação linear dos parâmetros y e z:
(3y - 2z, y, z) = y cdot (3, 1, 0) + z cdot (-2, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor no plano pode ser formado pela combinação dos vetores (3, 1, 0) e (-2, 0, 1).

Passo 6

Para confirmar que esses vetores formam uma base, precisamos verificar se são linearmente independentes. Nesse caso, como eles não são múltiplos um do outro, eles são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para o plano.

Resposta

Uma base para o conjunto de vetores no plano x - 3y + 2z = 0 é:
, (3, 1, 0), , (-2, 0, 1) ,

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