Sejam A=[cccc10 & -8 & -2 & -2 0 & 2 & 2 & -2 1 & -1 & 6 & 0 1 & 1 & 0 & -2] e y=[l2 2 0 2]. Determine se y pertence a C(A). y pertence a N(A) ?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz A e um vetor y . Precisamos descobrir duas coisas:
  1. Se y pertence ao espaço coluna de A ( C(A) ): Isso significa que existe um vetor x tal que Ax = y .
  2. Se y pertence ao núcleo de A ( N(A) ): Isso significa que Ay = 0 .
Para resolver isso, vamos usar métodos de sistemas lineares, como a escalonagem de matrizes e a verificação de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se y está no espaço coluna de A . Para isso, precisamos resolver a equação Ax = y .
O sistema fica assim:
10x1 - 8x2 - 2x3 - 2x4 = 2 0x1 + 2x2 + 2x3 - 2x4 = 2 1x1 - 1x2 + 6x3 + 0x4 = 0 1x1 + 1x2 + 0x3 - 2x4 = 2

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e realizar operações para escalonar:
[cccc|c 10 & -8 & -2 & -2 & 2 0 & 2 & 2 & -2 & 2 1 & -1 & 6 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & -2 & 2 ]
Para facilitar, trocamos a primeira linha pela terceira:
[cccc|c 1 & -1 & 6 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -2 & 2 10 & -8 & -2 & -2 & 2 1 & 1 & 0 & -2 & 2 ]
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na posição (1,1)):
  • Linha 3: Linha 3 - 10 times Linha 1
  • Linha 4: Linha 4 - Linha 1
Após essas operações:
[cccc|c 1 & -1 & 6 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -2 & 2 0 & 2 & -62 & -2 & 2 0 & 2 & -6 & -2 & 2 ]

Passo 4

Focando na segunda coluna, usamos o pivô 2 na posição (2,2) para zerar os elementos abaixo:
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 2
  • Linha 4: Linha 4 - Linha 2
Após as operações:
[cccc|c 1 & -1 & 6 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -2 & 2 0 & 0 & -64 & 0 & 0 0 & 0 & -8 & 0 & 0 ]

Passo 5

Agora, lidamos com a terceira coluna. Simplificamos dividindo a terceira linha por -64:
[cccc|c 1 & -1 & 6 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -2 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -8 & 0 & 0 ]
Em seguida, zeramos o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Linha 4: Linha 4 + 8 times Linha 3
Resultando em:
[cccc|c 1 & -1 & 6 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -2 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 6

Com a matriz escalonada, interpretamos as equações:
  1. x1 - x2 + 6x3 = 0
  2. 2x2 + 2x3 - 2x4 = 2
  3. x3 = 0
Da terceira equação, sabemos que x3 = 0 .
Substituindo x3 = 0 na segunda equação:
2x2 - 2x4 = 2 implies x2 - x4 = 1 implies x2 = x4 + 1
Agora, substituindo x3 = 0 e x2 = x4 + 1 na primeira equação:
x1 - (x4 + 1) = 0 implies x1 = x4 + 1
Portanto, temos:
x1 = x4 + 1 x2 = x4 + 1 x3 = 0 x4 é livre é

Passo 7

Como o sistema possui soluções (com x4 livre), isso significa que existe pelo menos um vetor x tal que Ax = y . Portanto, y pertence ao espaço coluna de A ( C(A) ).

Passo 8

Agora, vamos verificar se y pertence ao núcleo de A ( N(A) ). Para isso, calculamos Ay :
Ay = 10 & -8 & -2 & -2 0 & 2 & 2 & -2 1 & -1 & 6 & 0 1 & 1 & 0 & -2 2 2 0 2 = 10 times 2 + (-8) times 2 + (-2) times 0 + (-2) times 2 0 times 2 + 2 times 2 + 2 times 0 + (-2) times 2 1 times 2 + (-1) times 2 + 6 times 0 + 0 times 2 1 times 2 + 1 times 2 + 0 times 0 + (-2) times 2 = 20 - 16 - 0 - 4 0 + 4 + 0 - 4 2 - 2 + 0 + 0 2 + 2 + 0 - 4 = 0 0 0 0

Passo 9

Como Ay = 0 , isso significa que y está no núcleo de A ( N(A) ).

Resposta

O vetor y pertence tanto ao espaço coluna de A ( C(A) ) quanto ao núcleo de A ( N(A) ).

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