Encontre bases para os espaços nulo das matrizes dadas:
A=[cccc 1 & 0 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & 4 3 & -1 & -7 & 3 ], B=[ccccc 1 & 1 & -2 & 1 & 5 0 & 1 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & -8 & 0 & 10 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as bases dos espaços nulos das matrizes A e B . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços nulos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de eliminação de Gauss para simplificar as matrizes e encontrar as soluções das equações homogêneas Ax = 0 e Bx = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na matriz A . O espaço nulo de A consiste em todos os vetores x que satisfazem Ax = 0 . Vamos escrever isso explicitamente:
A = 1 & 0 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & 4 3 & -1 & -7 & 3 , x = x1 x2 x3 x4
Então, temos o sistema de equações:
1x1 + 0x2 -2x3 -2x4 = 0 0x1 + 1x2 +1x3 +4x4 = 0 3x1 -1x2 -7x3 +3x4 = 0

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema:
[cccc|c 1 & 0 & -2 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 4 & 0 3 & -1 & -7 & 3 & 0 ]
Primeiro, vamos eliminar o x1 da terceira equação. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
L3 = L3 - 3L1 Rightarrow 3 - 3(1) = 0, -1 - 3(0) = -1, -7 - 3(-2) = -7 + 6 = -1, 3 - 3(-2) = 3 + 6 = 9
Então, a matriz fica:
[cccc|c 1 & 0 & -2 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 4 & 0 0 & -1 & -1 & 9 & 0 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o x2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, somamos a segunda linha à terceira linha:
L3 = L3 + L2 Rightarrow 0 + 0 = 0, -1 + 1 = 0, -1 + 1 = 0, 9 + 4 = 13
A matriz simplificada fica:
[cccc|c 1 & 0 & -2 & -2 & 0 0 & 1 & 1 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 13 & 0 ]

Passo 5

Observamos que a terceira equação agora é:
13x4 = 0 Rightarrow x4 = 0
Agora, substituímos x4 = 0 nas outras equações:
  1. x1 - 2x3 - 2(0) = 0 Rightarrow x1 = 2x3
  2. x2 + x3 + 4(0) = 0 Rightarrow x2 = -x3

Passo 6

Vamos parametrizar as soluções em termos de [x_3). Seja , onde é um parâmetro livre.
Então, temos:
Podemos escrever o vetor (\mathbf{x}] como:

Passo 7

Isso significa que o espaço nulo de A é gerado pelo vetor 2 -1 1 0 . Portanto, uma base para o espaço nulo de A é:
2 -1 1 0

Passo 8

Agora, vamos repetir o processo para a matriz B . Primeiro, escrevemos o sistema de equações Bx = 0 :
B = 1 & 1 & -2 & 1 & 5 0 & 1 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & -8 & 0 & 10 , x = x1 x2 x3 x4 x5
O sistema fica:
1x1 + 1x2 -2x3 +1x4 +5x5 = 0 0x1 +1x2 +0x3 -1x4 -2x5 = 0 0x1 +0x2 -8x3 +0x4 +10x5 = 0

Passo 9

Vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss:
[ccccc|c 1 & 1 & -2 & 1 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & -2 & 0 0 & 0 & -8 & 0 & 10 & 0 ]
A matriz já está em forma triangular superior, então podemos resolver diretamente:
Da terceira equação:
-8x3 + 10x5 = 0 Rightarrow x3 = 108x5 = 54x5

Passo 10

Da segunda equação:
x2 - x4 -2x5 = 0 Rightarrow x2 = x4 + 2x5
Da primeira equação:
x1 + x2 -2x3 + x4 +5x5 = 0
Substituindo x2 e x3 :
x1 + (x4 + 2x5) - 2(54x5) + x4 +5x5 = 0
Simplificando:
x1 + x4 + 2x5 - 104x5 + x4 +5x5 = 0
x1 + 2x4 + (2 - 104 +5)x5 = 0
x1 + 2x4 + (2 - 2.5 +5)x5 = 0
x1 + 2x4 + 4.5x5 = 0 Rightarrow x1 = -2x4 -4.5x5

Passo 11

Vamos parametrizar as soluções em termos de [x_4) e . Seja e , onde e são parâmetros livres.
Então, temos:
Podemos escrever o vetor (\mathbf{x}] como:

Passo 12

Isso significa que o espaço nulo de B é gerado pelos vetores -2 1 0 1 0 e -4.5 2 54 0 1 . Portanto, uma base para o espaço nulo de B é:
-2 1 0 1 0 , -4.5 2 54 0 1

Resposta

Uma base para o espaço nulo da matriz A é 2 -1 1 0 , e uma base para o espaço nulo da matriz B é -2 1 0 1 0 , -4.5 2 54 0 1 .

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