Encontre bases para os espaços nulo das matrizes dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as bases dos espaços nulos das matrizes
A e
B . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços nulos. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de eliminação de Gauss para simplificar as matrizes e encontrar as soluções das equações homogêneas
Ax = 0 e
Bx = 0 .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na matriz
A . O espaço nulo de
A consiste em todos os vetores
x que satisfazem
Ax = 0 . Vamos escrever isso explicitamente:
Então, temos o sistema de equações:
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss para simplificar o sistema:
Primeiro, vamos eliminar o
x1 da terceira equação. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o
x2 da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, somamos a segunda linha à terceira linha:
A matriz simplificada fica:
Passo 5
Observamos que a terceira equação agora é:
Agora, substituímos
x4 = 0 nas outras equações:
-
x1 - 2x3 - 2(0) = 0 Rightarrow x1 = 2x3 -
x2 + x3 + 4(0) = 0 Rightarrow x2 = -x3
Passo 6
Vamos parametrizar as soluções em termos de [x_3). Seja
, onde
é um parâmetro livre.
Então, temos:
Podemos escrever o vetor (\mathbf{x}] como:
Passo 7
Isso significa que o espaço nulo de
A é gerado pelo vetor
2 -1 1 0 . Portanto, uma base para o espaço nulo de
A é:
Passo 8
Agora, vamos repetir o processo para a matriz
B . Primeiro, escrevemos o sistema de equações
Bx = 0 :
O sistema fica:
Passo 9
Vamos montar a matriz aumentada e aplicar a eliminação de Gauss:
A matriz já está em forma triangular superior, então podemos resolver diretamente:
Da terceira equação:
Passo 10
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Substituindo
x2 e
x3 :
Simplificando:
Passo 11
Vamos parametrizar as soluções em termos de [x_4) e
. Seja
e
, onde
e
são parâmetros livres.
Então, temos:
Podemos escrever o vetor (\mathbf{x}] como:
Passo 12
Isso significa que o espaço nulo de
B é gerado pelos vetores
-2 1 0 1 0 e
-4.5 2 54 0 1 . Portanto, uma base para o espaço nulo de
B é:
Resposta
Uma base para o espaço nulo da matriz
A é
2 -1 1 0 , e uma base para o espaço nulo da matriz
B é
-2 1 0 1 0 , -4.5 2 54 0 1 .