Defina uma Transformação Linear e dê exemplos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir o que é uma Transformação Linear e dar alguns exemplos. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e ver alguns casos práticos para fixar bem o conceito.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas operações fundamentais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Em outras palavras, se você tem uma transformação
que vai de um espaço vetorial
para outro
, então para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, a transformação deve satisfazer:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas duas propriedades garantem que a estrutura linear seja mantida pela transformação.
Passo 3
Vamos entender melhor cada uma dessas propriedades:
-
Adição: Isso significa que se você somar dois vetores antes de aplicar a transformação, é o mesmo que aplicar a transformação em cada vetor separadamente e depois somar os resultados. Não há “bagunça” na soma.
-
Multiplicação por escalar: Aqui, se você multiplicar um vetor por um número (escalar) antes de transformar, é igual a transformar o vetor primeiro e depois multiplicar o resultado pelo mesmo número. Novamente, a transformação não altera a “escala” de forma desordenada.
Passo 4
Agora, vamos ver alguns exemplos de transformações lineares para deixar isso mais claro:
-
Transformação Identidade: É a transformação que não muda nenhum vetor. Ou seja,
para todo vetor . Ela obviamente respeita as duas propriedades, já que a soma e a multiplicação por escalar são preservadas. -
Rotação no Plano: Imagine girar todos os vetores do plano XY por um ângulo fixo. Por exemplo, uma rotação de 90 graus. Essa transformação também é linear porque a rotação mantém a soma de vetores e a multiplicação por escalar.
-
Dilatção ou Compressão: Multiplicar todos os vetores por um escalar constante, como
. Isso “estica” ou “encolhe” os vetores, mas ainda preserva a linearidade das operações. -
Derivação: No espaço de polinômios, a operação de derivar um polinômio é uma transformação linear. Se você tem dois polinômios
e , então , e .
Resposta
Uma Transformação Linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Exemplos incluem a transformação identidade, rotações no plano, dilatações ou compressões e a operação de derivação em polinômios.