Defina uma Transformação Linear e dê exemplos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir o que é uma Transformação Linear e dar alguns exemplos. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear e ver alguns casos práticos para fixar bem o conceito.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que respeita duas operações fundamentais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Em outras palavras, se você tem uma transformação T que vai de um espaço vetorial V para outro W , então para quaisquer vetores u, v em V e qualquer escalar c , a transformação deve satisfazer:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Essas duas propriedades garantem que a estrutura linear seja mantida pela transformação.

Passo 3

Vamos entender melhor cada uma dessas propriedades:
  • Adição: Isso significa que se você somar dois vetores antes de aplicar a transformação, é o mesmo que aplicar a transformação em cada vetor separadamente e depois somar os resultados. Não há “bagunça” na soma.
  • Multiplicação por escalar: Aqui, se você multiplicar um vetor por um número (escalar) antes de transformar, é igual a transformar o vetor primeiro e depois multiplicar o resultado pelo mesmo número. Novamente, a transformação não altera a “escala” de forma desordenada.

Passo 4

Agora, vamos ver alguns exemplos de transformações lineares para deixar isso mais claro:
  1. Transformação Identidade: É a transformação que não muda nenhum vetor. Ou seja, T(v) = v para todo vetor v . Ela obviamente respeita as duas propriedades, já que a soma e a multiplicação por escalar são preservadas.
  2. Rotação no Plano: Imagine girar todos os vetores do plano XY por um ângulo fixo. Por exemplo, uma rotação de 90 graus. Essa transformação também é linear porque a rotação mantém a soma de vetores e a multiplicação por escalar.
  3. Dilatção ou Compressão: Multiplicar todos os vetores por um escalar constante, como T(v) = 2v . Isso “estica” ou “encolhe” os vetores, mas ainda preserva a linearidade das operações.
  4. Derivação: No espaço de polinômios, a operação de derivar um polinômio é uma transformação linear. Se você tem dois polinômios p(x) e q(x) , então D(p(x) + q(x)) = D(p(x)) + D(q(x)) , e D(c cdot p(x)) = c cdot D(p(x)) .

Resposta

Uma Transformação Linear é uma função entre espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar. Exemplos incluem a transformação identidade, rotações no plano, dilatações ou compressões e a operação de derivação em polinômios.

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