Defina: Transformação linear, Núcleo, Imagem e enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- Definir o que é uma transformação linear entre espaços vetoriais.
- Definir o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
- Definir a imagem (range) de uma transformação linear.
- Enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity.
Passo 2
Uma transformação linear
entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo é uma aplicação que preserva soma e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo
e todo escalar
, valem
Passo 3
O núcleo (ou kernel) de
é o conjunto de todos os vetores de
que são enviados no vetor zero de
. Formalmente,
É fácil verificar que
é um subespaço de
.
Passo 4
A imagem (ou range) de
é o conjunto de todos os vetores de
que têm pelo menos um antecessor em
. Em notação,
Também se mostra que
é um subespaço de
.
Passo 5
Teorema do Núcleo e da Imagem (Rank–Nullity).
Se é de dimensão finita, então
Se
Esse resultado nos diz que a dimensão de
se “divide” em duas partes: a dimensão dos vetores que vão para zero (nullity) e a dimensão dos vetores efetivamente atingidos em
(rank).
Resposta
Transformação linear, núcleo, imagem e Teorema do Núcleo e da Imagem conforme definido e enunciado acima.