Defina: Transformação linear, Núcleo, Imagem e enuncie o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Definir o que é uma transformação linear entre espaços vetoriais.
  2. Definir o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
  3. Definir a imagem (range) de uma transformação linear.
  4. Enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity.

Passo 2

Uma transformação linear Tcolon Vto W entre espaços vetoriais sobre o mesmo corpo é uma aplicação que preserva soma e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo u,vin V e todo escalar c, valem
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(c,v)=c,T(v)

Passo 3

O núcleo (ou kernel) de T é o conjunto de todos os vetores de V que são enviados no vetor zero de W. Formalmente,
ker(T)=,vin Vmid T(v)=0W
É fácil verificar que ker(T) é um subespaço de V.

Passo 4

A imagem (ou range) de T é o conjunto de todos os vetores de W que têm pelo menos um antecessor em V. Em notação,
Im(T)=,win Wmid exists,vin V tal que T(v)=w
Também se mostra que Im(T) é um subespaço de W.

Passo 5

Teorema do Núcleo e da Imagem (Rank–Nullity).
Se V é de dimensão finita, então
dim(V)=diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r)
Esse resultado nos diz que a dimensão de V se “divide” em duas partes: a dimensão dos vetores que vão para zero (nullity) e a dimensão dos vetores efetivamente atingidos em W (rank).

Resposta

Transformação linear, núcleo, imagem e Teorema do Núcleo e da Imagem conforme definido e enunciado acima.

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